標題:
排列組合的題目，求矩形與正方形個數
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作者:
weiye
時間:
2009-4-22 09:32
標題:
排列組合的題目，求矩形與正方形個數
如圖：
上圖中每個小正方形的邊長都是 \(1\) 單位，
(1) 共有幾個正方形，所有正方形面積總和為多少？
(2) 共有幾個矩形，所有矩形面積總和為多少？
解：
(1)
正方形
邊長
1
2
3
4
個數
4×5
3×4
2×3
1×2
單一個面積
\(1^2\)
\(2^2\)
\(3^2\)
\(4^2\)
正方形個數\(\displaystyle = 4\times 5+3\times 4+2\times 3+1\times2 = \sum\limits_{k=1}^{4}k\left(k+1\right)=40.\)
所有正方形面積總和\(\displaystyle = \left(4\times 5\right)\times1^2+\left(3\times 4\right)\times2^2+\left(2\times 3\right)\times3^2+\left(1\times2\right)\times4^2 = 154.\)
(2)
矩形的個數：
任選兩條垂直的直線，搭配任選兩條水平的直線，就可以形成一個矩形，所以矩形個數為\(\displaystyle C^5_2 C^6_2=150.\)
另解：
設矩形的大小是 \(a\times b\)，則 \(1\leq a\leq4\) 且 \(1\leq b\leq5\)
左方線段長\((a)\)
1
2
3
4
線段個數
4
3
2
1
且
上方線段長\((b)\)
1
2
3
4
5
線段個數
5
4
3
2
1
\[\mbox{矩形個數}=\left(4+3+2+1\right)\left(5+4+3+2+1\right)=150\]
且
\[\mbox{所有矩形的面積總和=}\left(4\times1+3\times2+2\times3+1\times4\right)\left(5\times1+4\times2+3\times3+2\times4+1\times5\right)\]
\[=700.\]
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