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標題: 95台灣師大推薦甄試 [打印本頁]
作者: arend    時間: 2009-3-18 18:08     標題: 95台灣師大推薦甄試

設\(x,y\)為實數，\(x^2-xy+4y^2=1\)，求\(x^2+4y^2\)的最大與最小值

有人可以提供代數解與幾何解嗎
謝謝

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作者: weiye    時間: 2009-3-18 19:03

先來個微積分解法好了。 :p

以下利用 Lagrange multiplier 求解.

解：

\(x^2-xy+4y^2=1\) 的 \(\delta = (-1)^2 - 4\cdot 1\cdot 4 <0\)，圖形為橢圓或其退化的情形.

所以 \(x^2+4y^2\) 會有最大值與最小值.

令 \[f(x,y,\lambda) = x^2 + 4y^2 +\lambda \left(x^2 -xy +4y^2 - 1\right),\]

由 \( \nabla_{x,y,\lambda} f(x , y, \lambda)=0\)，得

\[\frac{{\partial f}}{{\partial x}} = \frac{{\partial f}}{{\partial y}} = \frac{{\partial f}}{{\partial \lambda }} = 0,\]

\[2x + \lambda\left(2x -y\right) =0 .......（1）\]
\[8y + \lambda\left(-x+8y\right)=0 .......（2）\]
\[x^2 -xy +4y^2 - 1=0 .......（3）\]
由（1）（2），整理得
\[⇒ 2\left(1+\lambda\right) x= \lambda y　且　8\left(1+\lambda\right)y = \lambda x .......（＊）\]

兩式相乘可得
\[ 16\left(1+\lambda\right)^2xy = \lambda^2 xy\]
\[⇒ xy\left(16\left(1+\lambda\right)^2 - \lambda^2\right)=0\]
\[⇒ xy\left(3\lambda+4\right)\left(5\lambda+4\right)=0\]
\[⇒ x=0　或　y=0　或　\lambda = -\frac{4}{5}　或　\lambda = -\frac{4}{3}\]

由（＊）可知若 \(x,y\) 中有任一者為 \(0\)，則另一數亦為零，但帶入（3）不合，所以 \(xy\neq0\)，

1. 若 \(\lambda = -\frac{4}{5}\) ，則可以解得 \(x^2 = \frac{4}{10},\, y^2 = \frac{1}{10} 　⇒　 x^2 + 4y^2 = \frac{4}{5}.\)

2. 若 \(\lambda = -\frac{4}{3}\) ，則可以解得 \(x^2 = \frac{2}{3},\, y^2 = \frac{1}{6} 　⇒　 x^2 + 4y^2 = \frac{4}{3}.\)

故，最大值為 \(\frac{4}{3}\)，最小值為 \(\frac{4}{5}\).










再來個算幾不等式的另解，



\[x^2-xy+4y^2=1　⇒　x^2 + 4y^2 = 1+xy ........（※）\]

由算幾不等式，可得

\[\frac{x^2 + 4y^2}{2}\geq \sqrt{x^2 \cdot 4y^2}\]
\[⇒　\frac{1+xy}{2}\geq 2 \left|xy\right|\]
\[⇒　-\frac{1+xy}{2}\leq 2 xy \leq \frac{1+xy}{2}\]
\[⇒　-\frac{1}{5}\leq xy \leq \frac{1}{3}\]
\[⇒　\frac{4}{5}\leq 1+xy \leq \frac{4}{3}\]
由（※），
\[⇒　\frac{4}{5}\leq x^2+4y^2 \leq \frac{4}{3}\]
作者: arend    時間: 2009-3-19 17:41

請問式中
-1/5<=xy<=1/3
-1/5 與1/3怎麼得到的
謝謝
作者: weiye    時間: 2009-3-19 21:59

上一個行的兩個不等式，分別處理，就可以得到了。
作者: arend    時間: 2009-3-19 22:40

謝謝, 了解了
感激ㄛ



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