標題:
投影後的曲線方程式
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作者:
bugmens
時間:
2009-2-7 12:04
標題:
投影後的曲線方程式
台灣師大96筆試二
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空間中位於點(0,2,2)的光源,將xz平面上的圓\( x^2+(z-1)^2=1 \) , y=0
照射在xy平面上,則這個影像的曲線方程式為
[解答]
\( x^2+(z-1)^2=1 \) , y=0的參數式\( (cos θ , 0 , 1+sin θ) \)
\( (cos θ, 0 , 1+sin θ) \)和(0 , 2 , 2)的直線參數式\(\displaystyle \frac{x}{cos θ}=\frac{y-2}{-2}=\frac{z-2}{sin θ -1}\)
該直線和z=0的交點\(\displaystyle \frac{x}{cos θ}=\frac{y-2}{-2}=\frac{0-2}{sin θ-1}\)
\(\displaystyle sin θ=\frac{y+2}{y-2}\) , \(\displaystyle cos θ=\frac{-2x}{y-2}\)
利用\( sin^2 θ+cos^2 θ=1 \)，得到\(x^2+2y=0\) , z=0
113.6.8補充
空間中有一光源位於\((0,2,2)\)，將\(xz\)平面上的圓\(\cases{x^2+(z-1)^2=1\cr y=0}\)照射在\(xy\)平面上，求此圓在\(xy\)平面上的軌跡方程式
。
(106興大附中，
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2749&page=1#pid17004
)
作者:
littleyang
時間:
2009-3-7 17:47
題目的方程式打錯了
難怪看半天看不懂^^"
應該是
x^2+(z-1)^2 =1，y=0
才是
作者:
bugmens
時間:
2009-3-8 06:48
感謝littleyang指正
作者:
youngchi
時間:
2014-6-22 14:31
標題:
求軌跡方程式
空間中\(A\)之座標為\((0,2,3)\)而\(B\)是圓\(y=0\)及\(x^2+(z-1)^2=1\)上的動點，若直線\(AB\)與\(z=0\)交於\(P\)點，則在\(xy\)平面上\(P\)點的軌跡方程式為何?
ans: \(\displaystyle \frac{x^2}{3}+\frac{(y+2)^2}{4}=1\)
請老師幫忙解答,謝謝
作者:
tsyr
時間:
2014-6-22 16:24
標題:
回復 1# youngchi 的帖子
\(A(0,2,3)\)，\(B\)點參數式\(B(sin\theta,0,1+cos\theta)\)，\(P\)點坐標\(B(x,y,0)\)
因三點共線，\(\displaystyle \frac{x}{sin\theta}=\frac{y-2}{-2}=\frac{-3}{cos\theta-2}\)，
整理得\(\displaystyle sin\theta=\frac{-2x}{y-2}\)、\(\displaystyle cos\theta=\frac{2y+2}{y-2}\)
代入\(sin^2\theta+cos^2\theta=1\)，\(\displaystyle \left(\frac{-2x}{y-2}\right)^2+\left(\frac{2y+2}{y-2}\right)^2=1\)
\(\displaystyle \Rightarrow (4x^2)+(4y^2+8y+4)=y^2-4y+4\Rightarrow \frac{x^2}{3}+\frac{(y+2)^2}{4}=1\)
不過這個方法有點繁瑣，不知有沒有更簡潔的做法?
不好意思，答案應該要加個z=0。
作者:
youngchi
時間:
2014-6-22 19:55
引用:
原帖由
tsyr
於 2014-6-22 04:24 PM 發表
如下，不過這個方法有點繁瑣，不知有沒有更簡潔的做法?
不好意思，答案應該要加個z=0。
老師真的很感謝你快速幫我解答
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