標題:
三角函數的題目，兩題與三角形邊長有關的不等式的證明題
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作者:
maddux0706
時間:
2009-1-11 23:04
標題:
三角函數的題目，兩題與三角形邊長有關的不等式的證明題
1. 設a,b,c分別為三角形ABC的邊長,且S表示其面積
試證:a^2+b^2+c^2 >= S*4根號3
2. 設a,b,c為正實數
試證:1/a(1+b) + 1/b(1+c) + 1/c(1+a) >= 3/1+abc
作者:
bugmens
時間:
2009-1-12 11:34
補上出處－教育部八十八學年度高級中學數學科能力競賽決賽獨立研究試題(三)
$$ (1+abc)[\frac{1}{a(1+b)}+\frac{1}{b(1+c)}+\frac{1}{c(1+a)}]+3 $$
$$ =\frac{1+abc+a+ab}{a(1+b)}+\frac{1+abc+b+bc}{b(1+c)}+\frac{1+abc+c+ca}{c(1+a)} $$
$$ =\frac{(1+a)+ab(1+c)}{a(1+b)}+\frac{(1+b)+bc(1+a)}{b(1+c)}+\frac{(1+c)+ac(1+b)}{c(1+a)} $$
$$ =\frac{1+a}{a(1+b)}+\frac{b(1+c)}{1+b}+\frac{1+b}{b(1+c)}+\frac{c(1+a)}{1+c}+\frac{1+c}{c(1+a)}+\frac{a(1+b)}{1+a} ≧ 6 $$
[
本帖最後由 bugmens 於 2009-3-1 09:23 AM 編輯
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附件:
88全國決賽 獨立研究3.pdf
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https://math.pro/db/attachment.php?aid=10&k=5a26cea0ca48b32bac7b8f646b611e17&t=1732249217
作者:
bugmens
時間:
2009-1-12 18:40
在△ABC中，a^2+b^2+c^2≧4√3 * △
這個叫做Weitzenberk不等式,共有三種證明,已經有兩個學校考過了
97松山家商h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=49554 連結已失效
97麗山高中h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=23646 連結已失效
[證法1]http://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1231679767.A.DDE.html
作者: keith291 (keith) 看板: Math
標題: Re: 高中兩題證明題
時間: Sun Jan 11 21:16:06 2009
※ 引述《madduxwin (師出名門)》之銘言：
: 1. 設a,b,c分別為三角形ABC的邊長,且S表示其面積
: 試證:a^2+b^2+c^2 >= S*4根號3
提供一較不常見的證法:
改證以下之更強命題
a^2+b^2+c^2 ≧(4√3)s+(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2
令a=x+y b=y+z c=z+x x,y,z>0 (此令法是由三角形內切圓圖形觀察可得)
則s=√(xyz(x+y+z)) (由海龍公式)
a^2+b^2+c^2 ≧(4√3)s+(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2
<=> (x+y)^2+(y+z)^2+(z+x)^2≧4√(3xyz(x+y+z))+(x-z)^2+(y-x)^2+(z-y)^2
<=> 4(xy+yz+zx)≧4√(3xyz(x+y+z))
<=> xy+yz+zx≧√(3xyz(x+y+z))
<=> (xy+yz+zx)^2≧3xyz(x+y+z)
<=>(xy)^2+(yz)^2+(zx)^2≧xyz(x+y+z)
又{(xy)^2+(yz)^2}/2≧xyz(y)
{(yz)^2+(zx)^2}/2≧xyz(z)
{(zx)^2+(xy)^2}/2≧xyz(x)
三式相加 末式成立 故原式成立
又a^2+b^2+c^2 ≧(4√3)s+(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2≧(4√3)s
原式得證 等號於x=y=z時 即a=b=c時成立
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 218.166.49.166
→ keith291:常見證法是證a^2+b^2+c^2-(4√3)s≧0 01/11 21:21
→ keith291:用餘弦定理將a^2代換掉 以及s=(bcsinA)/2 然後配方 01/11 21:22
[證法二]就如keith291的推文所說的
在高中數學競賽教程P161和高中數學101 P131都有證明
h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=52834 連結已失效
[證法三]高中數學競賽教程P161還提供另一種利用正弦定理的證明
作者:
ksjeng
時間:
2009-3-1 22:40
這是四題的第四子題
我喜歡用餘弦定理證明
因他跟第一子題有直覺關係
不過老師的証法
需要很高的數學底子
我願意日後多跟老師學習
謝謝老師的分享喔
[
本帖最後由 ksjeng 於 2009-3-2 09:39 AM 編輯
]
作者:
bugmens
時間:
2009-3-3 22:38
再補充wiki的資料,都是想不到的證明
http://zh.wikipedia.org/w/index. ... F&variant=zh-hk
作者:
weiye
時間:
2009-3-9 15:17
我也來補充一個 Weitzenböck 不等式的證明好了，
設 \(a, b, c\) 三邊上的中線分別為 \(m_a, m_b, m_c\)，三邊上的高分別為 \(h_a, h_b, h_c\)，
則中線長≧高，
\[ m_a\geq h_a, m_b\geq h_b, m_c\geq h_c\]
\[ ⇒ \frac{1}{2} a m_a\geq \frac{1}{2} a h_a=S, \frac{1}{2} b m_b\geq \frac{1}{2} b h_b=S, \frac{1}{2} c m_c\geq \frac{1}{2} c h_c=S\]
兩邊同時平方，可得
\[ ⇒ \frac{1}{4} a^2 m_a^2\geq S^2, \frac{1}{4} b^2m_b^2\geq S^2, \frac{1}{4} c^2 m_c^2\geq S^2\]
\[ ⇒ a^2 m_a^2\geq 4 S^2, b^2m_b^2\geq 4 S^2, c^2 m_c^2\geq 4 S^2\]
三式相加，可得
\[ a^2m_a^2 + b^2m_b^2 + c^2m_c^2\geq 12 S^2..............（＊）\]
由三角形的中線定理，可得
\[2\left[\left(\frac{a}{2}\right)^2 + m_a^2\right]=b^2+c^2 ⇒ m_a^2 = -\frac{a^2}{4}+\frac{b^2}{2}+\frac{c^2}{2}\]
\[2\left[\left(\frac{b}{2}\right)^2 + m_b^2\right]=a^2+c^2 ⇒ m_b^2 = \frac{a^2}{2}-\frac{b^2}{4}+\frac{c^2}{2}\]
\[2\left[\left(\frac{c}{2}\right)^2 + m_c^2\right]=a^2+b^2 ⇒ m_c^2 = \frac{a^2}{2}+\frac{b^2}{2}-\frac{c^2}{4}\]
上三式代入（＊），可得
\[ a^2\left(-\frac{a^2}{4}+\frac{b^2}{2}+\frac{c^2}{2}\right) + b^2\left(\frac{a^2}{2}-\frac{b^2}{4}+\frac{c^2}{2}\right) + c^2\left(\frac{a^2}{2}+\frac{b^2}{2}-\frac{c^2}{4}\right)\geq 12 S^2\]
\[⇒ 4\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)-\left(a^4+b^4+c^4\right)\geq 48 S^2\]
\[⇒ \left(a^2+b^2+c^2\right)^2 -\left[\left(a^2-b^2\right)^2 +\left(b^2-c^2\right)^2+\left(c^2-a^2\right)^2 \right]\geq 48 S^2\]
\[⇒ \left(a^2+b^2+c^2\right)^2 \geq 48 S^2+\left[\left(a^2-b^2\right)^2 +\left(b^2-c^2\right)^2+\left(c^2-a^2\right)^2 \right]\geq 48 S^2\]
\[⇒ a^2+b^2+c^2\geq 4\sqrt{3}S.\]
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