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標題: √2009 = √x + √y且0<x<y,求整數對(x, y)? [打印本頁]

作者: weiye    時間: 2009-1-10 11:55     標題: √2009 = √x + √y且0<x<y,求整數對(x, y)?

問題:

已知 √2009 = √x + √y 且 0<x<y,則滿足上式的整數對(x, y)共有幾組?






解答:

 √2009 = √x + √y

 ⇒ √y= √2009-√x

 ⇒ y = 2009+x-2√(2009x

因為 2009 = (7^2)×41,所以 y = 2009 + x - 14√(41x

因為 y 為整數,所以 41x為完全平方數,且因為 41 為質數,

所以可以令 x = 41×\(a^2\) ,其中 a 為正整數,亦即 √x = a√41。

同理,可令 y = 41×\(b^2\) ,其中 b 為正整數,亦即 √y = b√41。

因為 0<x<y,所以 0<a<b。




所以

√2009 = √x + √y

⇒ 7√41 = a√41 + b√41

⇒ 7 = a + b

且由 a, b 皆為正整數,0<a<b,可得

數對(a,b)=(1,6)、(2,5)或(3,4),

故,

數對(x,y)=\((41,41×6^2)、(41×2^2,41×5^2)或(41×3^2,41×4^2)\)

共三組。
作者: bugmens    時間: 2009-1-10 19:12

補上出處92台南縣國中聯招
相關討論h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=13842 連結已失效

2010.3.2補充
已知\( \sqrt{2009}=\sqrt{x}+\sqrt{y} \),且\( 0<x<y \),求整數對\( (x,y) \)。
[書上解答]
原方程改寫為\( 7 \sqrt{41}=\sqrt{x}+\sqrt{y} \),由此可見\( x \)必為\( 41t^2 \)的形式,\( y \)必為\( 41k^2 \)的形式,且\( t+k=7 \)(\( t \),\( k \)為正整數)。
∵\( 0<x<y \), ∴\( t<k \)。
當\( t=1 \),\( k=6 \)時,得\( (41,1476) \);當\( t=2 \),\( k=5 \)時,得\( (164,1025) \);當\( t=3 \),\( k=4 \)時,得\( (369,656) \);
(初中數學競賽教程P32)

109.6.16補充
\(\sqrt{2499}=\sqrt{A}+\sqrt{B}\),且\(A<B<1000\),則\(B-A\)之值為   
(109建功高中國中部,https://math.pro/db/thread-3348-1-1.html)




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