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標題: 分解成平方和 [打印本頁]

作者: chu1976 時間: 2008-12-22 10:19 標題: 分解成平方和

從1~200這些正整數中,可表示成二個不同的非負整數之平方和的數共有幾個?

作者: bugmens 時間: 2009-8-6 21:28

從1到200這些正整數中，可表示成二個不同的非負整數(即包含0)之平方和的數共有　　個。
(2008青少年數學國際城市邀請賽初賽)

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6							85	100	117	136	157	180	205	232
7								113	130	149	170	193	218	245
8									145	164	185	208	233	260
9										181	202	225	250	277
10											221	244	269	296
11												265	290	317
12													313	340
13														365

補充一題類似題
How many of the integers between 1 and 1000, inclusive, can be expressed as the difference of the squares of two nonnegative integers?
(1997AIME，http://www.mathlinks.ro/viewtopic.php?p=393578)

附件: 2008青少年數學國際城市邀請賽初賽.rar (2009-8-6 21:28, 375.87 KB) / 該附件被下載次數 7700
https://math.pro/db/attachment.php?aid=116&k=e3a8b84b2476e9b75d947b01fe183a24&t=1732309296

作者: bobo 時間: 2011-1-21 21:47

請問這題除了全部列出來以外,

65=1^2+8^2=4^2+7^2
85=2^2+9^2=6^2+7^2
25,100,125,130,145,169,170,185,
這些可以拆成兩種平方和

想請問一下前輩,有沒有其他的辦法直接找到呢?
感謝^^

作者: armopen 時間: 2011-2-2 13:20

不難發現平方數必定符合題意。其他的可能性就用到一個抽象代數上的定理：一個奇質數可表為二個平方數之和，若且唯若

此數被 4 除餘 1. 在 1 ~ 200 間的平方數就有 1^2, 2^2, ..., 14^2. 至於被 4 除餘 1 的有 5, 9, 13, ..., 197 共 47 個，再扣掉這些數字中重覆與相同平方數構成的部分

即可. 一般的平方數可以利用整複數 (也就是高斯整數，複數平面上的整數對) 的絕對值概念來討論，即

(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = (ac - bd)^2 + (ad + bc)^2.

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