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標題: 用複數表示「平行四邊形定理」 [打印本頁]

作者: ksjeng    時間: 2008-11-30 16:04     標題: 用複數表示「平行四邊形定理」

    我使用勾股定理(法一)證明平行四邊形定理 也用了向量(法二)與解析幾何之建立座標系並用距離公式(法三)的座標方法的方法來證明,但複數的方法也嘗試過 但不完美 懇請賜教解法

             (1) 試利用複數表示「平行四邊形定理」:在平行四邊形中,四邊平方和等於兩對角線平方和

      (2)試證明(1)之「平行四邊形定理」複數表法。

[ 本帖最後由 ksjeng 於 2008-11-30 04:19 PM 編輯 ]
作者: weiye    時間: 2008-11-30 19:50

對於任意平行四邊形 \(ABCD\),

不失一般性,可以將其平移到以 \(A\) 為原點 \(0+0i\),

設 \(B=a+bi\), \(D=c+di\),其中 \(a, b, c, d\) 為實數,

因為 \(ABCD\) 為平行四邊形,則 \(C=(a+c)+(b+d)i\),

求證 \(2(AB^2 + AD^2) = AC^2 + BD^2\).



證明:

左式\(= 2(AB^2 + AD^2)\)

  \(= 2\left(|(a+bi)-(0+0i)|^2 + |(c+di)-(0+0i)|^2\right)\)

  \(= 2\left((a^2+b^2) + (c^2+d^2)\right)\)


右式\(= AC^2 + BD^2 \)

  \(= |((a+c)+(b+d)i) - (0+0i)|^2 + |(a+bi)-(c+di)|^2\)

  \(= \left((a+c)^2+(b+d)^2\left) + \right((a-c)^2+(b-d)^2\right) \)

  \(=2a^2+2b^2 + 2c^2+2d^2\)

故,左式=右式,得證。
作者: ksjeng    時間: 2008-12-2 08:49

哇 我懂了 您真的好棒
謝謝老師撥冗指導

[ 本帖最後由 ksjeng 於 2008-12-2 08:51 AM 編輯 ]
作者: eggsu1026    時間: 2012-1-11 23:47

我是用附件的方式處理複數表示平行四邊形定理這件事
關鍵在於 |z|^2 = z ×( z的共軛複數 )

圖片附件: 99056.gif (2012-1-11 23:47, 17.41 KB) / 該附件被下載次數 2296
https://math.pro/db/attachment.php?aid=886&k=8bccbc3d64adf64776c8ab2e9d44aa40&t=1635078120






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