標題: 例題：H 的典型考題之一 [打印本頁]

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作者: weiye    時間: 2006-7-23 01:01     標題: 例題：H 的典型考題之一

原討論串在 http://www.student.tw/db/showthread.php?t=71271
這裡擷取其中我自己寫的一小段當紀錄


題目：若 1 ≦ X ≦ Y ≦ Z ≦ 12，問有序數組 (X,Y,Z) 共有幾組整數解？



我提供一個解法供參考，

∵ 1≦ X ≦ Y ≦ Z ≦ 12

∴ 考慮 X-1, Y-X, Z-Y, 12-Z 分別為 四個介於 0~11 之間的整數，而且全部加起來 = 11 。

(也就是考慮 1到X, X到Y, Y到Z, Z到12 之間到底分別要差幾個整數。)


想像有四個箱子分別貼上 X-1, Y-X, Z-Y, 12-Z 的標籤，然後把 11 個相同球丟進去，

共有 H(4, 11) = (3+11)!/(3!×11!) = 364 種情形。

所以答案就是 364 。






當然，如果有人看不太懂箱子投球的方法的話，也可令 X' = X-1, Y' = Y-X, Z'= Z-Y, U' = 12-Z

則 X' + Y' + Z' + U' = (X-1) + (Y-X) + (Z-Y) + (12-Z) = 11

所以 X' + Y' + Z' + U' = 11 非負整數解 (也就是限定 X', Y', Z', U' 為介於 0~11 的整數)

解的組數有 H(4, 11) = (3+11)!/(3!×11!) = 364 種。







再來個另解，

分別放 12 個箱子，標上 1~12 號，然後拿 3 顆相同球分配給箱子，

然後看球落在哪些箱子，就可以知道選到哪些號碼了，因為都是相同球，

所以把被選取到的箱子號碼由小排到大（如果一箱有多顆球，則該箱之號碼重複選取），

就是 X,Y,Z 所取到的數字了，所以共有 H(12,3) = C(12+3-1, 3) = C(14,3) = 364 種。

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