標題:
所圍三角形個數
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作者:
chu1976
時間:
2008-10-22 11:54
標題:
所圍三角形個數
平面上凸n邊行之對角線沒有三線共點者,則由此凸n邊行之邊與對角線所圍出三角形個數
=C(n,3)+
4
C(n,4)+
5
C(n,5)+C(n,6)
其中C(n,m)表示從n個相異物中取m個
此等式中第2,3項之係數分別為
4,5
,線上各位老師是否有人知道呢?!
又此等式又該如何解釋呢?
111.4.19補充
任給一凸八邊形,試問其各邊及對角線最多可交出多少個三角形?
(建中通訊解題第126期,
http://web2.ck.tp.edu.tw/~mathwe ... 30-15&Itemid=37
)
作者:
weiye
時間:
2008-10-22 15:50
已知平面上凸 n 邊形之對角線沒有三線共點者
由此凸 n 邊形之邊與對角線所圍成的三角形可以分成下列幾種情況:
case i: 三角形的三頂點都在原來的 n 個頂點中,
由此凸 n 邊形的 n 個頂點中,任取三個頂點連接之後,
即會造成一個這樣的三角形,(可以自己拿筆畫看看比較容易明瞭)
所以此種情形有 1×C(n, 3)
case ii: 三角形的兩個頂點在原來的 n 個頂點中,一個在凸 n 邊形的內部(也就是經由對角線相交而得),
由此凸 n 邊形的 n 個頂點中,任取四個頂點連接之後,
即會造成四個這樣的三角形,(可以自己拿筆畫看看比較容易明瞭)
所以此種情形有 4×C(n, 4)
case iii: 三角形的一個頂點在原來的 n 個頂點中,兩個在凸 n 邊形的內部(也就是經由對角線相交而得),
由此凸 n 邊形的 n 個頂點中,任取五個頂點連接之後,
即會造成五個這樣的三角形,(可以自己拿筆畫看看比較容易明瞭)
所以此種情形有 5×C(n, 5)
case iv: 三角形的三個頂點都落在凸 n 邊形的內部(也就是經由對角線相交而得),
由此凸 n 邊形的 n 個頂點中,任取六個頂點連接之後,
即會造成一個這樣的三角形,(可以自己拿筆畫看看比較容易明瞭)
所以此種情形有 1×C(n, 6)
所以,由此凸 n 邊形之邊與對角線所圍成的三角形個數
= 1×C(n,3)+4×C(n,4)+5×C(n,5)+1×C(n,6)
作者:
chu1976
時間:
2008-10-22 21:08
那為什麼不繼續討論C(n,7)呢?!
作者:
weiye
時間:
2008-10-22 22:53
因為所求的三角形的三個頂點只有這四種可能性呀,
而以凸 n 邊形的頂點去取三角形、四邊形、五邊形、六邊形
就是產生這四種情況的最小單位呀。 :-)
作者:
arend
時間:
2010-5-3 21:47
請問第三種情況,怎麼產生5種情況呢?
我只找到三個
這三個是內被兩點與其餘三點所構成
另兩點與這內部兩點構成一直線
謝謝
作者:
weiye
時間:
2010-5-3 22:26
case iii 的圖:
作者:
arend
時間:
2010-5-3 22:54
謝謝
我只畫一條線而已,所以.....嗨
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