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標題: 所圍三角形個數 [打印本頁]

作者: chu1976 時間: 2008-10-22 11:54 標題: 所圍三角形個數

平面上凸n邊行之對角線沒有三線共點者,則由此凸n邊行之邊與對角線所圍出三角形個數
=C(n,3)+4C(n,4)+5C(n,5)+C(n,6)
其中C(n,m)表示從n個相異物中取m個

此等式中第2,3項之係數分別為4,5,線上各位老師是否有人知道呢?!
又此等式又該如何解釋呢?

111.4.19補充
任給一凸八邊形，試問其各邊及對角線最多可交出多少個三角形？
(建中通訊解題第126期，連結已失效h ttp://web2.ck.tp.edu.tw/~mathweb/index.php?option=com_content&view=article&id=42:2012-02-07-02-50-11&catid=19:2011-11-23-08-30-15&Itemid=37)

作者: weiye 時間: 2008-10-22 15:50

已知平面上凸 n 邊形之對角線沒有三線共點者

由此凸 n 邊形之邊與對角線所圍成的三角形可以分成下列幾種情況：

case i: 三角形的三頂點都在原來的 n 個頂點中，

　　　由此凸 n 邊形的 n 個頂點中，任取三個頂點連接之後，

　　　即會造成一個這樣的三角形，（可以自己拿筆畫看看比較容易明瞭）

　　　所以此種情形有 1×C(n, 3)

case ii: 三角形的兩個頂點在原來的 n 個頂點中，一個在凸 n 邊形的內部（也就是經由對角線相交而得），

　　　由此凸 n 邊形的 n 個頂點中，任取四個頂點連接之後，

　　　即會造成四個這樣的三角形，（可以自己拿筆畫看看比較容易明瞭）

　　　所以此種情形有 4×C(n, 4)

case iii: 三角形的一個頂點在原來的 n 個頂點中，兩個在凸 n 邊形的內部（也就是經由對角線相交而得），

　　　由此凸 n 邊形的 n 個頂點中，任取五個頂點連接之後，

　　　即會造成五個這樣的三角形，（可以自己拿筆畫看看比較容易明瞭）

　　　所以此種情形有 5×C(n, 5)

case iv: 三角形的三個頂點都落在凸 n 邊形的內部（也就是經由對角線相交而得），

　　　由此凸 n 邊形的 n 個頂點中，任取六個頂點連接之後，

　　　即會造成一個這樣的三角形，（可以自己拿筆畫看看比較容易明瞭）

　　　所以此種情形有 1×C(n, 6)

所以，由此凸 n 邊形之邊與對角線所圍成的三角形個數

　　　=　1×C(n,3)+4×C(n,4)+5×C(n,5)+1×C(n,6)

作者: chu1976 時間: 2008-10-22 21:08

那為什麼不繼續討論C(n,7)呢?!

作者: weiye 時間: 2008-10-22 22:53

因為所求的三角形的三個頂點只有這四種可能性呀，

而以凸 n 邊形的頂點去取三角形、四邊形、五邊形、六邊形

就是產生這四種情況的最小單位呀。 :-)

作者: arend 時間: 2010-5-3 21:47

請問第三種情況,怎麼產生5種情況呢?
我只找到三個
這三個是內被兩點與其餘三點所構成
另兩點與這內部兩點構成一直線
謝謝

作者: weiye 時間: 2010-5-3 22:26

case iii 的圖：

作者: arend 時間: 2010-5-3 22:54

謝謝
我只畫一條線而已,所以.....嗨

作者: alexchow 時間: 2024-10-24 20:04

謝謝老師,以上講的好仔細!感恩!
老師,因我解以下相關類題,看不懂!請老師指點!

凸n邊形的頂點，共可連出 C(n 3) 個△→這我知道了!
問:
(1).恰共用一個邊的有幾個△
(2).恰共用兩個邊的有幾個△
(3).完全不共邊的有幾個△
老師,請問(1).(2).(3)用排容做嗎?思路應是如何?我怎就解不出來呀!解不完整!

[ 本帖最後由 alexchow 於 2024-10-25 07:55 編輯 ]

作者: weiye 時間: 2024-10-25 13:27

(1) 恰共用一個邊：先選擇這一個邊有 \(n\) 種，再由剩下可以選的 \(n-4\) 個頂點擇一與這個邊連接，共有 \(n(n-4)\) 種選擇。

(2) 恰共用兩個邊：先選擇這兩個共用邊有 \(n\) 種，然後就唯一決定該三角形了。

(3) 完全不共用邊： \(C(n,3) - n(n-4) - n\) 種。

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作者: alexchow 時間: 2024-10-25 16:23

謝謝老師!
懂了!好簡潔有力呀!
因第一次看到這種題目,用環形(頭尾)、排容等總覺得怪怪的!
原來是我不懂題意,那「完全不共用邊」,借老師圖(改)應該是如下:

謝謝老師!

[ 本帖最後由 alexchow 於 2024-10-26 09:32 編輯 ]

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