標題: 請教特殊的平方公式 [打印本頁]

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作者: ksjeng    時間: 2008-9-28 09:50     標題: 請教特殊的平方公式

\( (a_1+a_2+a_3)^2=a_1^2+a_2^2+a_3^2+2(a_1a_2+a_2a_3+a_3a_1) \)
其一般式
\( (a_1+a_2+\ldots+a_n)^2=a_1^2+a_2^2+\ldots+a_n^2+2(a_1a_2+a_2a_3+\ldots+a_na_1) \)

請教:是否有此特殊的公式?感覺它是對的,其證明的方法是用數學歸納法嗎?或者有其他的証法
        懇請賜教

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作者: weiye    時間: 2008-9-28 20:57

(a+b+c+.....+z)(a+b+c+.....+z) 乘開之後會出現蝦咪呢？

按照分配率分配開來的結果，

把左邊括弧跟右邊括弧各選一個符號，乘在一起，

全部再加起來就是了。






當左邊跟右邊都選一樣的符號的時候，就會出現 a^2, b^2, c^2, ....., z^2

那那那那那~~~~~~左邊跟右邊括弧各選一個符號，如果選的不是一樣的呢？？？




比如說，左邊選 a 右邊選 b，就會出現 ab 這一項，

可是，左邊選 b 右邊選 a，也會出現 ab 這一項呀，

因此乘開之後，如果是不同的符號乘在一起，它的係數就會是 2，

也就會有會出現 2×〝a~z中任選兩個符號相乘，然後全部加起來〞。

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作者: ksjeng    時間: 2008-9-28 23:57

原來用乘法分配律就能解釋
我原先想到要用組合的方式證明耶

謝謝老師撥冗解答
祝教師節快樂
有網友提出下列解法喔
跟老師分享 但有點看不懂那個英文
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上面那條可以用trinomial 來做
(a1+a2+a3)^2
=[(a1+a2)+a3]^2
=(a1+a2)^2 + 2(a1 + a2)*a3 + (a3)^2
=(a1)^2 + 2(a1)(a2) + (a2)^2+2[(a1)(a3)+2(a2)(a3)+(a3)(a2)]
=(a1)^2+(a2)^2+(a3)^2 + 2(a1a2+a1a3+a2a3)
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數學歸納法是做到的.....不過應該不是唯一的方法
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(1 + 2 + 3 + 4)^2 = 100

1 + (2^2) + (3^2) + (4^2) + (2 * ((1 * 2) + (2 * 3) + (3 * 4) + (4 * 1))) = 78

這真的是對的嗎?
何況寫條乘式來交叉相乘會發現有一堆a1*a3,a1*a4之類的吧
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嗯... 其實條式係

(a1+a2+...an)²

= a1²+a2²+...an²+2[Summation ai*aj (1<=i<j<=N)]

[ 本帖最後由 ksjeng 於 2008-9-29 12:45 AM 編輯 ]

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作者: weiye    時間: 2008-9-29 08:30

polynomial → 多項式 ( poly 的字根是 "聚合"、"多個的" 的意思； nomial 的字根是 "name、term"，也就是 "項" 的意思. )

monomial → 單項式 ( mono 的字根是 "單一的" 的意思 )

binomial → 二項式 ( bi 的字根是 "兩個" 的意思)

trinomial → 三項式 ( tri 的字根是 "三個" 的意思 )

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