標題:
請問高中有關韓信點兵的問題
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作者:
chrnsy1028
時間:
2008-9-16 14:21
標題:
請問高中有關韓信點兵的問題
韓信點兵是中國上的一個有名的問題
她的原理期時就是餘數定理
只是問題來了~
在他運算的過程中~我發現到有些地方很奇怪~不知道怎樣弄出來的
所以想請問一下，如果有以下這樣的一個題目，要怎樣才可解出來與可以跟別人說
韓信點兵,每8人一隊或7人一隊都餘1人,每5人一隊餘2,已知兵員略多於兩千人,則兵員共有多少人?
作者:
weiye
時間:
2008-9-16 15:45
利用中國餘數定理（我比較習稱作"中國剩餘定理"，又名"孫子定理"）來找找通解，
（下面要開始找一個特殊解）
先找 "8和7的倍數，卻滿足被5除會於二的數"，找到 (8×7)×2；
再找 "8和5的倍數，卻滿足被7除會於一的數"，找到 (8×5)×3；
繼續找 "5和7的倍數，卻滿足被8除會於一的數"，找到 (5×7)×3；
則找到一個特殊解 m＝8×7×2 ＋ 8×5×3 ＋ 5×7×3。
（下面要說明這個特殊解是ｏｋ滴）
當 m 被 5 除的時候，可以發現 8×5×3 跟 5×7×3 的部分分別都會 5 整除，只有 8×7×2 被 5 除會於 2；
當 m 被 7 除的時候，可以發現 8×7×2 跟 5×7×3 的部分分別都會 7 整除，只有 8×5×3 被 7 除會於 1；
當 m 被 8 除的時候，可以發現 8×7×2 跟 8×5×3 的部分分別都會 8 整除，只有 5×7×3 被 8 除會於 1；
所以可以發現 m = 8×7×2 ＋ 8×5×3 ＋ 5×7×3 同時滿足題目要求的這個條件，所以找到一個特殊解。
再利用 〝5,7,8 最小公倍數 [5,7,8] 的倍數〞被 5,7,8 都會整除 的特性，
可以知道，對於任意整數 t，
8×7×2 ＋ 8×5×3 ＋ 5×7×3 ＋ [5,7,8]×t 一定也會滿足題目的要求，
所以令通解為 8×7×2 ＋ 8×5×3 ＋ 5×7×3 ＋ [5,7,8]×t = 337 ＋ 280 t，其中 t 為任意整數。
（下面要解完這個題目囉）
題目有說人數大概比兩千人略多一點點而已，所以就可以知道
337 ＋ 280 t ＞ 2000
⇒ t ＞ (2000 - 337) / 280 = 5.93928571..........
⇒ t 的最小正整數值為 6
⇒ 兵員數為 337 + (280 × 6) = 2017 人
題外話，Note：
中國剩餘定理跟 Lagrange 插值法原理都一樣，
都是先一次解決一小部分的問題，
然後加總起來就是合乎題目條件的答案。
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