標題:
圓的題目，求一直線等分五圓的面積和.
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作者:
weiye
時間:
2008-7-1 19:16
標題:
圓的題目，求一直線等分五圓的面積和.
引用:
現有5個半徑為1的圓，其圓心分別為(-1,1),(-1,3),(1,1),(1,3),(3,1). 試找一直線方程式將這5個圓的面積平分為兩等分?
解答：
如圖：
看來～至少五條直線滿足條件，
以下證明有無限多條直線恰可以將此五圓面積和分割成相等的兩塊：
設 m 為實數，
以斜率為 m 的直線系（y=mx+k，經平行移動之後）裡面的直線 y=mx+k，
在直線上方面積扣掉下方的面積稱為函數 F(k)，
由於存在 k=a 使得 五個圓都在直線下方，即 F(a) = 5 > 0，
且存在 k 使得 五個圓都在直線上方，即 F(b) = - 5 < 0，
由堪根定理可知存在 k = c 介在 (a,b) 之間 ，使得 F(c)=0，
也就是對於任意斜率 m ，都可以找到直線 y= mx+c 恰將此五圓面積分割為相等的兩部份。
原討論串：h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=49158 連結已失效
作者:
bugmens
時間:
2012-2-1 20:01
補充資料
一個圖形由大小相等的五個圓\( O_1 \)、\( O_2 \)、\( O_3 \)、\( O_4 \)和\( O_5 \)構成，其中\( O_1 \)、\( O_2 \)、\( O_3 \)都與直線l相切，並且\( O_1 \)與\( O_2 \)，\( O_2 \)與\( O_3 \)，\( O_3 \)與\( O_4 \)，\( O_4 \)與\( O_5 \)，\( O_5 \)與\( O_2 \)分別外切，請畫一條直線，使得這條直線把圖形的面積二等分。
(生活中的中學數學P166)
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