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標題: 橢圓求焦點，求聯立方程式 x^2+y^2=4 且 x+y+z=0 的兩焦點 [打印本頁]

作者: weiye 時間: 2008-6-20 11:39 標題: 橢圓求焦點，求聯立方程式 x^2+y^2=4 且 x+y+z=0 的兩焦點

題目：求聯立方程式　\(x^2+y^2=4\) 且 \(x+y+z=0\) 的兩焦點‧

解答：

設與圓柱 \(x^2+y^2=4\) 及平面 \(x+y+z=0\) 同時相切的內切球方程式為

\[ x^2+y^2+(z-t)^2 = 4 \]

由圓心到平面的距離=半徑，

可得
\[ \frac{\left|0+0+t\right|}{\sqrt{3}} = 2, \]

故 \(t = \pm 2 \sqrt{3}.\)

再利用點到面的投影點公式，

求出圓心 \( \left(0, 0, \pm 2 \sqrt{3}\right) \) 在 \(x+y+z=0\) 上的投影點即為兩焦點.

原討論串：h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=48052　連結已失效

97年國立大里高中教甄題目（數學科）：http://www.scribd.com/doc/3562840/97

作者: jisam 時間: 2009-9-13 11:06 標題: 圓錐曲線焦點座標

請問這題應該如何處理謝謝

圓錐x^2+y^2=z^2 和平面2x+3y=5交一橢圓, 求橢圓的長短軸頂點,焦點座標

作者: weiye 時間: 2009-9-13 17:36

交出橢圓？

看起來像是交出雙曲線的樣子？

像是 http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/ar/ar_wy_geo_08/ 裡面的﹝圖 8-3﹞

作者: jisam 時間: 2009-9-13 19:11

從圖來看應該是雙曲線可能是題目出錯了

作者: weiye 時間: 2009-9-13 19:18

承上題的類似題，

題目：

　　圓錐 \(x^2+y^2=z^2\) 和平面 \(2x+3y=5\) 交一雙曲線，求此雙曲線的焦點、貫軸頂點座標

　　題目改自 jisam 問的 https://math.pro/db/thread-864-1-1.html 此題。

　　感謝 bugmens 介紹此題目的原始出處h ttp://forum.nta.org.tw/oldphpbb2/viewtopic.php?t=41341　連結已失效

　　^__^

解答：

設在直圓錐 \(x^2+y^2=z^2\) 的內部區域與其相切之圓的圓心為 \((0,0,t)\)，

則畫圖，看出半徑為 \(r=\displaystyle\frac{|t|}{\sqrt{2}}\)，

利用此圓與平面 \(2x+3y=5\) 相切（圓心到平面的距離＝半徑），

得

\[
\frac{|2\times0+3\times0+0\times t-5|}{\sqrt{2^2+3^2+0^2}}=\frac{t}{\sqrt{2}}
\]

\[\Rightarrow t=\pm\frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{13}}.
\]

故與直圓錐 \(x^2+y^2=z^2\) 及平面 \(2x+3y=5\) 皆相切之圓的圓心為 \(\displaystyle (0,0,\pm\frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{13}})\)，半徑為 \(\displaystyle r=\frac{5}{\sqrt{13}}\)，

再利用點到面的投影點公式，

求出圓心在 \(2x+3y=5\) 上的投影點即為兩焦點 \(F_1, F_2\) 為 \(\displaystyle\left(\frac{10}{13}, \frac{15}{13}, \pm\frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{13}}\right)\).

而要求貫軸頂點的話，（以下也是畫圖慢慢看出來的）

由 \(F_1, F_2\) 往上、下（向 \(z=0\) 平面靠近）分別移動 \(\displaystyle r\tan 22.5^\circ=\frac{5}{\sqrt{13}}\left(\sqrt{2}-1\right)\)，

即可得貫軸的兩頂點為 \(\displaystyle\left(\frac{10}{13}, \frac{15}{13}, \pm\frac{5}{\sqrt{13}}\right)\).

參考資料： Dandelin Spheres　─　http://www.clowder.net/hop/Dandelin/Dandelin.html

作者: weiye 時間: 2009-9-13 19:21

把題目改成雙曲線之後，變成要問焦點與頂點好了，

這篇做法，類似 https://math.pro/db/viewthread.php?tid=578

所以回覆在上述那篇好了。

另外，

感謝 bugmens 介紹此題目的原始出處h ttp://forum.nta.org.tw/oldphpbb2/viewtopic.php?t=41341　連結已失效

^__^

作者: casanova 時間: 2012-1-24 18:03 標題: 回復 2# weiye 的帖子

請問tan22.5度是怎麼看出來的？

作者: weiye 時間: 2012-1-24 18:42 標題: 回復 3# casanova 的帖子

因為我不太會畫立體圖，

所以畫了如附加檔案的剖面側視圖，

圖中 \(\overline{QF_1}=r\)，可得 \(\overline{A_1F_1}=r\tan22.5^\circ\)

\(A_1\) 點即為其中一個貫軸上的頂點。

（如果您看得懂圖，應該就會知道另一個頂點在哪裡～^__^）

圖片附件: qq.png (2012-1-24 18:42, 41.37 KB) / 該附件被下載次數 6455
https://math.pro/db/attachment.php?aid=902&k=0e71b6d5de0cc29d8195db912a39ddcb&t=1732213520

作者: casanova 時間: 2012-1-24 20:08 標題: 回復 4# weiye 的帖子

謝謝你喔！
雖然沒有立體圖形，但這剖面側視圖也很清楚。
另一個貫軸的頂點是，以平面z=0為對稱平面，A1的對稱點對吧？！

作者: weiye 時間: 2012-1-24 20:26 標題: 回復 5# casanova 的帖子

是滴，沒錯！ ^__^

作者: best2218 時間: 2013-1-14 11:49

我在舊版的101看到類似題，我仿照了做法得到的結果(如附件一)和101的解答不同(如附件二)

我有兩個問題

首先，到底哪個答案是對的?或者，我錯在哪邊?

第二，101解答的部分，算式(1)應該是屬於空間中的方程式，它所代表的幾何意義是什麼?
真的可以這樣做嗎?

謝謝各位!

圖片附件: 圓錐解一.JPG (2013-1-14 11:49, 42.31 KB) / 該附件被下載次數 5345
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1498&k=6f436ff57da2e2420f3f1afe61cc9ab2&t=1732213520

圖片附件: 圓錐解二.JPG (2013-1-14 11:49, 11.5 KB) / 該附件被下載次數 5497
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1499&k=b956d73dfcf95da1b67683cd0480adbe&t=1732213520

作者: tsusy 時間: 2013-1-14 19:02 標題: 回復 7# best2218 的帖子

題目所求是不一樣的

附件一解的是圓錐上的雙曲線

而附件二解是該曲線對 xy 平面的投影

下次看清楚題目吧失言了，抱歉，是我沒仔細看清楚附件一

[ 本帖最後由 tsusy 於 2013-1-14 09:12 PM 編輯 ]

作者: 老王 時間: 2013-1-14 20:06 標題: 回復 7# best2218 的帖子

你的問題在於:
投影之後，焦點會改變。
舉個比較極端的例子:
如果是圓柱，那麼可以被平面截出一個橢圓，但是這個橢圓在與圓柱的軸垂直的平面上的投影是圓，
可以看成焦點都跑到中心去了。

作者: best2218 時間: 2013-1-17 07:15 標題: 回復 9# 老王的帖子

謝謝老王老師

我想再請問一下，在附件二的 (1)
在空間的坐標系統中，可不可以看成雙曲線「柱」?

作者: best2218 時間: 2013-1-17 09:58 標題: 回復 8# tsusy 的帖子

可能是我意思表達不清楚，讓老師誤會了。
謝謝老師!

作者: arend 時間: 2013-1-17 16:34

引用:

原帖由 weiye 於 2012-1-24 06:42 PM 發表
因為我不太會畫立體圖，

所以畫了如附加檔案的剖面側視圖，

圖中 \(\overline{QF_1}=r\)，可得 \(\overline{A_1F_1}=r\tan22.5^\circ\)

\(A_1\) 點即為其中一個貫軸上的頂點。

（如果您看得懂圖，應該就會知道另一個頂點在 ...

請問瑋岳老師, 怎麼算出"圓錐"與"平面"的交角為45度?
謝謝

作者: 老王 時間: 2013-1-19 11:47 標題: 回復 10# best2218 的帖子

http://mathworld.wolfram.com/HyperbolicCylinder.html

作者: peter0210 時間: 2014-11-2 10:45

請問瑋岳老師

兩球心到平面的投影點就是焦點，這個背後的原理是？？

作者: peter0210 時間: 2014-11-2 10:59

分享一下小弟的做法，如有錯誤，請指正，感恩

圖片附件: 101鳳新2 001.jpg (2014-11-2 10:59, 477.43 KB) / 該附件被下載次數 3398
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2574&k=4a57c4e514d90867b4937b6040db995c&t=1732213520

作者: weiye 時間: 2014-11-2 22:28 標題: 回復 14# peter0210 的帖子

參考資料： Dandelin Spheres　─　http://www.clowder.net/hop/Dandelin/Dandelin.html

https://www.google.com.tw/#q=Dandelin+Spheres+site:math.pro

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