標題: 複數絕對值 [打印本頁]

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作者: chu1976    時間: 2008-6-7 23:55     標題: 複數絕對值

z/(z-1)為純虛數,求|z-i|之最大值?

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作者: weiye    時間: 2008-6-8 00:26

因為　\(\frac{z}{z-1}\)　為純虛數，

所以
\[ \frac{z}{{z - 1}} =  - \overline {\left( {\frac{z}{{z - 1}}} \right)} \]
\[\frac{z}{{z - 1}} =  - \frac{{\overline z }}{{\overline z  - 1}}\]


交叉相乘，得

\[z\left( {\overline z  - 1} \right) =  - \overline z \left( {z - 1} \right)\]
\[z^2  - z =  - z^2  + \overline z \]

\[z + \overline z =2z^2 \]


令 \(z=x+yi\)，則

\[2x = 2\left( {x^2  + y^2 } \right)\]
\[\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2  + y^2  = \frac{1}{4}\]

所以 z 在複數平面的圖形為一圓（圓心為 \(\frac{1}{2} + 0i\)，且半徑為 \(\frac{1}{2}\)），

而題目要求的就是此圓上的點到  \(0+ i\) 的最長距離，

也就是 \(\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}\)。

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