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標題: 正切值最小值 [打印本頁]

作者: chu1976 時間: 2008-5-27 21:06 標題: 正切值最小值

三角形ABC中,求(1)(tanA/2)^2+(tanB/2)^2+(tanC/2)^2的最小值(2)(tanA/2)+(tanB/2)+(tanC/2)的最小值

作者: weiye 時間: 2008-5-27 22:51

引用:

原帖由 chu1976 於 2008-5-27 09:06 PM 發表
三角形ABC中,求(1)(tanA/2)^2+(tanB/2)^2+(tanC/2)^2的最小值(2)(tanA/2)+(tanB/2)+(tanC/2)的最小值

因為０＜A, B, C＜π，所以 tan（A／2）、tan（B／2）、tan（C／2）皆為正數。

(1)

利用柯西不等式，

｛(tan（A／2）)^2＋(tan（B／2）)^2＋(tan（C／2）)^2｝
　　×｛(tan（B／2）)^2＋(tan（C／2）)^2＋(tan（A／2）)^2｝
　　　≧　｛(tan（A／2）)(tan（B／2）)＋(tan（B／2）)(tan（C／2）)＋(tan（C／2）)(tan（A／2）)｝^2＝1^2

所以，(tan（A／2）)^2＋(tan（B／2）)^2＋(tan（C／2）)^2 最小值為 1

(2)

｛(tan（A／2）)＋(tan（B／2）)＋(tan（C／2）)｝^2

＝(tan（A／2）)^2＋(tan（B／2）)^2＋(tan（C／2）)^2

　＋２｛(tan（A／2）)(tan（B／2）)＋(tan（B／2）)(tan（C／2）)＋(tan（C／2）)(tan（A／2）)｝

≧１＋２＝３

所以，tan（A／2）＋tan（B／2）＋tan（C／2）≧√3

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