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標題: 求切線形成面積 [打印本頁]

作者: chu1976    時間: 2008-5-26 14:34     標題: 求切線形成面積

在R^3中,自P(0,2,4)向球x^2+y^2+(z-1)^2=1做切線,若切線與xy平面焦點所成圖形為S
求(1)S中心點(2)S的面積
作者: weiye    時間: 2008-5-28 18:22

引用:
原帖由 chu1976 於 2008-5-26 02:34 PM 發表
在R^3中,自P(0,2,4)向球x^2+y^2+(z-1)^2=1做切線,若切線與xy平面焦點所成圖形為S
求(1)S中心點(2)S的面積
所有切線形成的圖形為圓錐,

而 x^2+y^2+(z-1)^2=1 為此圓錐與 xy 平面的內切球,

所以,所有切線與 xy 平面的交點為橢圓(圓錐截痕)。




因為圖形對稱於 x=0 平面,所以先只看 yz 平面的圖形,

可以找出橢圓長軸兩頂點的 (y,z) 座標,

其中點就是橢圓的中心點。





利用 Dandelin 定理(http://en.wikipedia.org/wiki/Dandelin_spheres

可知內切球與 xy 平面的切點,也就是原點 (0, 0, 0),為此橢圓的其中一個焦點,

因此,配合第一小題所求得的中心點,可求得焦距,

再利用半長軸長,可以求得半短軸長,

故,橢圓面積可求。
作者: chu1976    時間: 2008-5-28 20:37

內切球與 xy 平面的切點,也就是原點 (0, 0, 0),為此橢圓的其中一個焦點
不好意思紅色部分我看不懂!
作者: weiye    時間: 2008-5-28 21:10

引用:
原帖由 chu1976 於 2008-5-28 08:37 PM 發表
內切球與 xy 平面的切點,也就是原點 (0, 0, 0),為此橢圓的其中一個焦點
不好意思紅色部分我看不懂!
那一句話就是 Dandelin 定理(http://en.wikipedia.org/wiki/Dandelin_spheres

或是你可以看這裡 http://mathworld.wolfram.com/DandelinSpheres.html 的圖,會比較清楚。

圓錐內部的內切球,切到橢圓的那個切點,就是橢圓的其中一個焦點。
作者: chu1976    時間: 2008-6-17 20:32

請問如何找出橢圓長軸兩頂點的 (y,z) 座標呢?
是令切線y=m(z-2)+4代入y^2+(z-1)^2=1
利用D=0求出來的嗎?!
作者: weiye    時間: 2008-6-17 21:59

可以呀,

或是用圓心 (0, 1) 到切線 y=m(z-2)+4 的距離等於半徑 1,
(平面上,點到線的距離公式,)

也可以求得 m。




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