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標題: 求極值 [打印本頁]
作者: chu1976    時間: 2008-5-12 20:04     標題: 求極值

(1)\( \displaystyle -\frac{\pi}{2}<x<\frac{\pi}{2} \)，\( \displaystyle f(x)=cosx+\frac{4}{cosx} \)之最小值為何是5?
(2)\( -1<a<1 \),\( -1<b<1 \),\( -1<c<1 \),求證\( -1<ab+bc+ca<3 \)
作者: weiye    時間: 2008-5-12 20:58

引用:
原帖由 chu1976 於 2008-5-12 08:04 PM 發表
(1)-pi/2<x<pi/2,f(x)=cosx+4/cosx之最小值為何是5?
令 t=cos(x)，則 0<t≦1，且

　　y = f(x) = t + 4/t

　　⇒　(y-t)t=4

　　⇒　圖形為一雙曲線且兩漸近線為 y=t 與 t=0，極值發生在 t=±2 的時候，

　　　　可是 t 有範圍限制 (0,1]，所以看函數圖形可以發現在 t=1 的時候 y 有最小值，且 y 沒有最大值。

　　　　t=1 帶回，可得 f(x) 的最小值為 5.


　　　　　　　　　
引用:
原帖由 chu1976 於 2008-5-12 08:04 PM 發表
(2)-1<a<1,-1<b<1,-1<c<1,求證-1<ab+bc+ca<3
Part 1:

　　　　由柯西不等式，

　　　　(ab+bc+ca)^2≦(a^2+b^2+c^2)(b^2+c^2+a^2)＜３×３

　　　　⇒　－３＜ab+bc+ca＜３

另解，

因為 -1<a<1,-1<b<1,-1<c<1，所以 －1＜ab＜1，－1＜bc＜1，－1＜ca＜1，

⇒　－３＜ab+bc+ca＜３


Part 2:

　　　(1) 若 a,b,c 中，有任一數為 ０，則 ab+bc+ca＞－１

　　　（因為，不失一般性，可假設　a＝０，則 ab+bc+ca ＝ bc＞－１　）

　　　(2) 假設 a,b,c 三數皆非０，則

　　　　　(i) 若三數皆為正，或三數皆為負，則 ab+bc+ca＞０＞－１

　　　　　(ii) 若三數為兩正一負，不失一般性，假設 １＞a＞０，１＞b＞０，０＞c＞－１，則

　　　　　　　　ab+bc+ca＝ab＋c(b+a)＞ab＋（－１）（a+b）＝（a-1）(b-1)－１＞０－１＝－１

　　　　　(iii) 若三數為一正兩負，不失一般性，假設１＞a＞０，０＞b＞－１，０＞c＞－１，則

　　　　　　　　ab+bc+ca＝a（b+c）+bc＞ １×（b+c）＋bc＝（b+1）（c+1）－１＞０－１＝－１




故，由 Part 1＆2，可得 －１＜ab+bc+ca＜３







Part 2 另解：

令 f(x)＝(b＋c)x＋bc＋1，則

　f(1)＝(b＋1)(c＋1)＞０ 且 f(－1)＝(1－b)(1－c)＞０

因為 f(x) 為線性函數，所以對任意 －1<a<1，皆滿足 f(a)＞０

亦即 (b＋c)a＋bc＋1＞０，

亦即 ab＋ac＋bc＞－1



再一個另解：

因為 (1＋a)、(1＋b)、(1＋c)、(1－a)、(1－b)、(1－c) 都為正，

所以 (1＋a)(1＋b)(1＋c)＞０且(1－a)(1－b)(1－c)＞０，

將兩者相加，即可得 1＋ab＋ac＋bc＞０，

亦即 ab＋ac＋bc＞－1

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作者: chu1976    時間: 2008-5-12 21:28

如何得知極值發生在t=2.-2呢?!
作者: weiye    時間: 2008-5-12 21:55

引用:
原帖由 chu1976 於 2008-5-12 09:28 PM 發表
如何得知極值發生在t=2.-2呢?!
若 t>0，由算幾不等式，

　　　　y = t + 4/t ≧ 2√{t×4/t} = 4，所以當 t = 4/t 且 t >0，意即當 t =2時， y 有極小值 4，

　　　　且因為 y = t ＋ 4/t 是奇函數，圖形對成於原點，所以當 t＝－2 時，y有極大值 －4。


註：圖形是斜擺的雙曲線，所以會讓 y 座標發生極值的點，並不是雙曲線的頂點。

　　（這點可以先畫一個標準的兩軸平行座標軸的雙曲線，再旋轉一下就可以感覺出來了。）
作者: chu1976    時間: 2008-5-12 22:06

當 t =2時， y 有極小值 4<--是指區域極小值嗎?!
當 t=-2 時，y有極大值-4<--是指區域極大值嗎?!
作者: weiye    時間: 2008-5-12 22:10

嗯嗯，如果不限制 t 的範圍的話，就是當 t=±2 的時候，y有極大、極小值，
不限制 t 的範圍的話，畫圖可以看出，沒有最大、最小值。
作者: chu1976    時間: 2008-5-12 22:28

2（1－ab）（1－bc）（1－ca）為何會小於2x0呢?!
作者: weiye    時間: 2008-5-12 22:41

第二題，想太快了，上述有誤，我再想想要怎樣証 > -1。
作者: chu1976    時間: 2008-5-13 12:06

引用:
原帖由 weiye 於 2008-5-12 10:41 PM 發表
第二題，想太快了，上述有誤，我再想想要怎樣証 > -1。
真是不好意思麻煩你
我也盡量想想看!
作者: weiye    時間: 2008-5-13 21:05

上面第二題的回覆，已有修改。 :-)



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