標題: 空間平面 [打印本頁]

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作者: chu1976    時間: 2008-5-4 21:34     標題: 空間平面

\(n\)為自然數,空間中平面
\(x+y+z\le n\)
\(-x+y-z\le n\)
\(x-y-z\le n\)
\(-x-y+z\le n\)
內格子點數為\(a_n\),則\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{a_n}{n^3}=\)?

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作者: weiye    時間: 2008-5-5 12:22

8/3 ?

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作者: chu1976    時間: 2008-5-5 13:02

引用:

原帖由 weiye 於 2008-5-5 12:22 PM 發表
8/3 ?

沒錯,請問你是怎麼算的呢?!
如何找出格子點?

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作者: weiye    時間: 2008-5-5 13:48

我並沒有算出共有多少格子點，

只是去估計，格子點的個數 = 所圍區域的體積 +O(n^2)

上面哪個 Big-O 定義： http://en.wikipedia.org/wiki/Big_O_notation

所以改用圖形體積去求，

畫出圖形發現是一個正四面體，

且正四面體當中，互相歪斜的兩個稜距離是 2n，

因此算出正四面體邊長為 (2√2)n，體積為 (8*n^3)/3，

所以，把體積除以 n^3，當 n 區近於無窮大時，其極限值為 8/3.








註： Big-O 是以前我修資料結構跟解析數論這兩門的時候老師提到的，

　　就是當 n 趨近於無窮大時，該函數的漸近行為，換句話說，就是

　　格子點的個數　跟　圖形所圍區域的體積的誤差值，至多可以用一個二次以下多項式函數表示。

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作者: chu1976    時間: 2008-5-6 20:18


接下來該怎麼做,無從著手,而
我得到的答案是格子點數有sigma[(n-k+1)(n+k-1)+(n-k)(n+k)],as k=1 to n,再加上2n^2+2n+1

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作者: jisam    時間: 2009-7-30 16:27

引用:

原帖由 weiye 於 2008-5-5 01:48 PM 發表
我並沒有算出共有多少格子點，

只是去估計，格子點的個數 = 所圍區域的體積 +O(n^2)

...

請問老師　這是如何估計的　謝謝

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作者: bugmens    時間: 2009-7-30 19:05

補上出處
高中數學101　第53單元　空間平面方程　p188
1998日本東京大學

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作者: weiye    時間: 2009-7-30 20:29

引用:

原帖由 jisam 於 2009-7-30 04:27 PM 發表
請問老師　這是如何估計的　謝謝

如上面回覆所言，用所圍區域的體積估計之。

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作者: jisam    時間: 2009-7-30 22:15

不好意思 是我表達錯誤了
"只是去估計，格子點的個數 = 所圍區域的體積 +O(n^2)"
怎會知道要用這樣方式 為什麼不是
格子點的個數 = 所圍區域的體積*2 +O(n^2)"之類的

而剛剛好是   格子點的個數 = 所圍區域的體積 +O(n^2)
謝謝

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作者: weiye    時間: 2009-7-31 12:50

對於長、寬、高分別是 \(a,b,c\) 的長方體（\(a,b,c\)是正整數），

其體積為 \(abc\)，

其格子點個數為 \((a+1)(b+1)(c+1)=abc+\left(ab+bc+ca+a+b+c+1\right).\)

設 \(a,b,c\) 為 \(n\) 的一次函數，

則 \(abc\) 為 \(n\) 的三次函數，且 \(\left(ab+bc+ca+a+b+c+1\right)=O(n^2).\)

因此，　格子點的個數 = 所圍區域的體積 +O(n^2) .

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作者: jisam    時間: 2009-7-31 15:12

謝謝瑋岳老師的說明

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作者: tuhunger    時間: 2013-5-28 23:51     標題: 高中數學101內的一題

很多老師都會念"高中數學101"
但舊版裡面有幾題答案是錯的,手上沒新版不知有無修訂

但這題因為小弟不確定自己解法是否OK!? 所以無法斷定其正確性

圖片附件: 未命名.png (2013-5-28 23:51, 11.98 KB) / 該附件被下載次數 3570
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1726&k=ca6c0696b0ecab2238e9010973b60c91&t=1732196770

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作者: weiye    時間: 2013-5-28 23:58     標題: 回復 1# tuhunger 的帖子

https://math.pro/db/viewthread.php?tid=523

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作者: thepiano    時間: 2013-5-29 06:08

二年前算過這題，請參考附件
時間過得真快啊......

附件: 20110317.zip (2013-5-29 06:08, 17.44 KB) / 該附件被下載次數 4627
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1727&k=68989d3a57fe387ef29ddac085dcd5d1&t=1732196770

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作者: weiye    時間: 2013-5-29 09:11     標題: 回復 14# thepiano 的帖子

感謝 thepiano 老師算出詳細格子點數目。

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作者: larson    時間: 2020-9-29 23:42     標題: 回復 14# thepiano 的帖子

抱歉S_k 與S_0 是如何得到的，還有為何會變成2sigmaS_k+S_0

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作者: thepiano    時間: 2020-9-30 11:46

引用:

原帖由 larson 於 2020-9-29 23:42 發表
抱歉S_k 與S_0 是如何得到的，還有為何會變成2sigmaS_k+S_0

小弟的 doc 檔裡是用 z，不是 k，以下用 z 來說明

附圖是 n = 5，z = 2 的例子
(n + z + 1)(n - z + 1) 是圖中的黑點個數，(n + z)(n - z) 是圖中的紅點個數
故每個矩形的格子點數是 (n + z + 1)(n - z + 1) + (n + z)(n - z)

由於 - n ≦ z ≦ n，z 包含正、負及 0
故一般式就是您看到的那個樣子

圖片附件: 20200930.jpg (2020-9-30 11:46, 22.28 KB) / 該附件被下載次數 2428
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5649&k=f557ecf1c634b94b248eda2bba97fb02&t=1732196770

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作者: larson    時間: 2020-9-30 14:56     標題: 回復 17# thepiano 的帖子

感謝！

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