標題: 反三角函數 [打印本頁]

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作者: chu1976    時間: 2008-4-21 20:58     標題: 反三角函數

(1)解arc(cosx)>arc(sinx)
(2)求S={(x,y)|arc(cosx)>arc(siny)}之面積

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作者: weiye    時間: 2008-4-21 22:35

引用:

原帖由 chu1976 於 2008-4-21 08:58 PM 發表
(1)解arc(cosx)>arc(sinx)

令 θ1=arccos(x), θ2=arcsin(x)，

⇒比較  x=cos(θ1) 與 x=sin(θ2) 的圖形，

題目要求 θ1>θ2 (對於相同的 x )，


如圖，即可得 -1 <x< (√2)/2

或是圖形對稱於 x=y 直線，應該更明顯

引用:

(2)求S={(x,y)|arc(cosx)>arc(siny)}之面積

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作者: chu1976    時間: 2008-4-22 09:01

感謝版主(1)精闢的解答
但是(2)的圖形該怎麼畫出來呢?!

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作者: weiye    時間: 2008-4-22 10:07

α=arccos(x), cos(α)=x, 其中 α 介在 0 到 π 之間，且 －1≦x≦1

β=arcsin(y), sin(β)=y, 其中 β 介在 －π/2 到 π/2 之間，且 －1≦y≦1

若 (x,y) 為第二象限的點，則 arccos(x) 介在 π/2 到 π 之間，

　　　　　　　　　　　　　arcsin(y) 介在 0 到 π/2 之間，

　所以必然滿足 arccos(x) > arcsin(y) (邊界曲線長不佔面積，所以我沒有考慮等號的情況)


若 (x,y) 為第三象限的點，則 arccos(x) 介在 π/2 到 π 之間，

　　　　　　　　　　　　　arcsin(y) 介在 －π/2 到 0 之間，

　所以必然滿足 arccos(x) > arcsin(y)


若 (x,y) 為第四象限的點，則 arccos(x) 介在 0 到 π/2 之間，

　　　　　　　　　　　　　arcsin(y) 介在 －π/2 到 0 之間，

　所以必然滿足 arccos(x) > arcsin(y) (邊界曲線長不佔面積，所以我沒有考慮等號的情況)


若 (x,y) 為第一象限內的點，要求 (x,y) 點座標滿足 α>β ，則

　因為　cos(α)=x, sin(β)=y，利用 √{1－x^2}=sin(α)

　且利用第一象限的 sin 函數是漸增函數，

　所以 α>β　⇒ sin(α)>sin(β)　⇒ √{1－x^2}>y　⇒ 1>x^2＋y^2

　在第一象限滿足的座標只有在單位圓內部的點(邊界曲線長不佔面積，所以我沒有考慮等號的情況)。


因此圖形是三個正方形加上一個1/4圓，

面積是＝ 1＋1＋1＋π/4 = 3＋π/4。

(答案有誤的話要跟我說喔~ :-p )

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作者: chu1976    時間: 2008-4-22 15:24

版主您的答案正確但是您有一個字錯!是指面積而不是體積。

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作者: weiye    時間: 2008-4-22 17:18

嗯，錯字已修改。  :-)

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