Math Pro 數學補給站

標題: 平面向量題，三向量靜力平衡與三角形面積關係 [打印本頁]

作者: chu1976 時間: 2008-2-21 23:14 標題: 平面向量題，三向量靜力平衡與三角形面積關係

若P為三角形ABC平面上一點(P點包括在三角形外部或在邊上)
設m,n,l為實數,若m*AP向量+n*BP向量+l*CP向量=0向量
則三角形BCP:三角形CAP:三角形ABP=m絕對值:n絕對值:l絕對值(m,n,l有可能為負)

(1)m,n,l均為正代表=> P點在三角形內部(此證明方式可延長倍數讓P成為新三角形重心)
(2)若m,n,l有一為負數=> P點在外部-----請問該如何證明呢???

作者: weiye 時間: 2008-2-22 21:11

引用:

原帖由 chu1976 於 2008-2-21 11:14 PM 發表
若P為三角形ABC平面上一點(P點包括在三角形外部或在邊上)
設m,n,l為實數,若m*AP向量+n*BP向量+l*CP向量=0向量
則三角形BCP:三角形CAP:三角形ABP=m絕對值:n絕對值:l絕對值(m,n,l有可能為負)

(1)m,n,l均為正代表=>P點在三角形內部(此證明方式可延長倍數讓P成為新三角形重心)
(2)若m,n,l有一為負數=>P點在外部-----請問該如何證明呢???

要証 (2) ，可以利用 (1)，再加上下面的這個：

引理：設 a向量與 b向量為不平行的兩個非零向量，則

　　　a向量與 b 向量所形成的三角形面積＝a向量與 (－b向量)所形成的三角形面積。

證明引理：

　　假設 a向量與 b 向量夾角為 θ，則

　　a向量與 b 向量所形成的三角形面積＝｜a向量｜*｜b向量｜* sin θ

　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝｜a向量｜*｜(－b向量)｜* sin (π－θ)

　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝a向量與 (－b向量) 所形成的面積。

如果 l, m, n 有兩負一正的情況，只要把等號兩側同時乘以－1 ，就又會變成兩正一負的情況，

同理 l, m, n 皆為負數的情況，等同於 l, m, n 都是正數的情況。

所以不失一般性，（只需要考慮下列的情況，）假設 m 為負數，且 n, l 為正數，則

　　因為　m*AP向量＋n*BP向量＋l*CP向量＝0向量

　　所以　(－m) * (－ AP向量)＋n*BP向量＋l*CP向量＝0向量

　　故，

　　三角形BCP面積：三角形CAP面積：三角形ABP面積

　　＝ BP向量與CP向量所形成的三角形面積：CP向量與AP向量所形成的三角形面積：AP向量與BP向量所形成的三角形面積

　　＝ BP向量與CP向量所形成的三角形面積：CP向量與 (－AP向量)所形成的三角形面積：(－AP向量)與BP向量所形成的三角形面積

　　＝ (－m)：n：l

　　＝｜m｜：｜n｜：｜l｜

歡迎光臨 Math Pro 數學補給站 (https://math.pro/db/)

論壇程式使用 Discuz! 6.1.0