標題: 三角函數題，利用倍角公式，解三角方程式 [打印本頁]

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作者: popopoi12345    時間: 2008-2-20 22:35     標題: 三角函數題，利用倍角公式，解三角方程式

3-4cos2x+cos4x=1/2
請指導一下怎樣解這條方程

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作者: weiye    時間: 2008-2-20 23:12

引用:

原帖由 popopoi12345 於 2008-2-20 10:35 PM 發表
3-4cos2x+cos4x=1/2
請指導一下怎樣解這條方程

令 cos 2x = t ，則

利用餘弦函數的二倍角公式，可知

　　cos 4x = 2 cos^2 (2x) - 1 = 2 t^2 - 1

所以，要解的方程式就變成是 3 - 4 t + ( 2 t^2 -1) = 1/2

先求出 t ，也就是知道 cos 2x 為多少，

然後再看看 2x 可以是多少度（記得要考慮同界角）？

就可以知道 x 為多少度。

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作者: popopoi12345    時間: 2008-2-24 10:02

引用:

原帖由 weiye 於 2008-2-20 11:12 PM 發表


令 cos 2x = t ，則

利用餘弦函數的二倍角公式，可知

　　cos 4x = 2 cos^2 (2x) - 1 = 2 t^2 - 1

所以，要解的方程式就變成是 3 - 4 t + ( 2 t^2 -1) = 1/2

先求出 t ，也就是知道 cos 2x 為多少，

然後再看看 2x 可 ...

cos (4x) = 2 cos^2 (2x) - 1 = 2 t^2 - 1我有少少問題

cos(2x) = 2cos^2 (x) - 1
那cos(6x)=2cos^2 (3x) - 1嗎?



而且想請問一下
如果{cos^2 (x)}{cos^2 (x) - 1}=0
在0-360度之間
x應該什麼值 為什麼 ?
因為我發覺我的觀念有點問題
所以想確認一下 謝謝

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作者: weiye    時間: 2008-2-24 12:38

引用:

原帖由 popopoi12345 於 2008-2-24 10:02 AM 發表

cos (4x) = 2 cos^2 (2x) - 1 = 2 t^2 - 1我有少少問題

cos(2x) = 2 cos^2 (x) - 1
那cos(6x) = 2 cos^2 (3x) - 1嗎?

由餘弦函數的二倍角公式 (證明在　https://math.pro/db/viewthread.php?tid=448&page=1#pid549　)

　　cos 2θ = 2 cos^2 (θ) － 1

把 θ 用 3x 帶入，就可以得到

　　cos(6x) =2 cos^2 (3x) － 1

引用:

而且想請問一下
如果{cos^2 (x) }{cos^2 (x) － 1}=0
在0-360度之間
x應該什麼值 為什麼 ?
因為我發覺我的觀念有點問題
所以想確認一下 謝謝

如果{cos^2 (x) }{cos^2 (x) － 1}=0

則　cos^2 (x) =0　或　cos^2 (x) ＝ 1

→　cos(x) = 0, 1, or -1

若要求 x 在0-360度之間，

則　x = 0°, 90°, 180°, 270°, or 360°

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作者: popopoi12345    時間: 2008-2-24 19:50

想請問一下= =我這樣計有錯嗎?
連結已失效h ttp://student.bshlmc.edu.hk/it-school/homepage/s04110501/IMG_1484.JPG
不知為何和答案多了一兩個角度-.-

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作者: weiye    時間: 2008-2-24 20:31

引用:

原帖由 popopoi12345 於 2008-2-24 07:50 PM 發表
想請問一下= =我這樣計有錯嗎?
http://student.bshlmc.edu.hk/it-school/homepage/s04110501/IMG_1484.JPG
不知為何和答案多了一兩個角度-.-

第一行是怎樣推論到第二行的呢？

第四行到第五行是如何推論的呢？

第五行之後又是用什麼公式一步一步往下換掉哪些項的呢？

還有，題目是？

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作者: popopoi12345    時間: 2008-2-24 22:41

引用:

原帖由 weiye 於 2008-2-24 08:31 PM 發表


第一行是怎樣推論到第二行的呢？

第四行到第五行是如何推論的呢？

第五行之後又是用什麼公式一步一步往下換掉哪些項的呢？

還有，題目是？ ...

啊 對不起啊..我的老毛病又來了= =
第一行我直接將它2次方= =
忘了(A+B)^2是=A^2+2AB+B^2
= =
解目就是解第一行的方程
請指導一下
謝謝

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作者: weiye    時間: 2008-2-24 23:58

引用:

原帖由 popopoi12345 於 2008-2-24 10:41 PM 發表

啊 對不起啊..我的老毛病又來了= =
第一行我直接將它2次方= =
忘了(A+B)^2是=A^2+2AB+B^2
= =
解目就是解第一行的方程
請指導一下
謝謝

看的不太清楚，所以先確認一下，題目是解

　　tan 2θ + sec 2θ = cos θ + sin θ
或是
　　tan 2θ + sec θ = cos θ + sin θ

哪一個，才是正確要解決的題目呢？

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作者: popopoi12345    時間: 2008-2-25 16:16

引用:

原帖由 weiye 於 2008-2-24 11:58 PM 發表


看的不太清楚，所以先確認一下，題目是解

　　tan 2θ + sec 2θ = cos θ + sin θ
或是
　　tan 2θ + sec θ = cos θ + sin θ

哪一個，才是正確要解決的題目呢？ ...

是tan 2θ + sec θ = cos θ + sin θ
謝謝
而且想另外一條關於積化和差 及和差化積的問題
不用計算機，試求下列的值，
sin^2(10°)   +cos^2(40°)  +sin(10°)cos(40°)
請指導一下。

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作者: weiye    時間: 2008-2-25 17:34

引用:

原帖由 popopoi12345 於 2008-2-25 04:16 PM 發表
而且想另外一條關於積化和差 及和差化積的問題
不用計算機，試求下列的值，
sin^2(10°)   +cos^2(40°)  +sin(10°)cos(40°)
請指導一下。

　　sin^2(10°)   +cos^2(40°)  +sin(10°)cos(40°)

<前兩項用半角公式>
＝　{1 -cos(20°)}/2 + {1 +cos(80°)}/2  +sin(10°)cos(40°)

＝　1 +{cos(80°) - cos(20°)} / 2  +sin(10°)cos(40°)

<中間項的分子用和差化積>
＝　1 +{ -2 sin(50°) sin(30°)}/2 +sin(10°)cos(40°)

<把中間項整理一下，最後一項把 sin(10°) 換成 cos(80°) >
＝　1  -cos(40°)/2  +cos(80°)cos(40°)

<最後一項用積化和差>
＝　1  -cos(40°)/2  +{cos(120°) +cos(40°)}/2

＝　1 +cos(120°)/2

＝　1 + (-1/2) /2

＝　1 - 1/4

＝　3/4

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作者: popopoi12345    時間: 2008-2-25 19:24

引用:

原帖由 weiye 於 2008-2-25 05:34 PM 發表



　　sin^2(10°)   +cos^2(40°)  +sin(10°)cos(40°)


＝　{1 -cos(20°)}/2 + {1 +cos(80°)}/2  +sin(10°)cos(40°)

＝　1 +{cos(80°) - cos(20°)} / 2  +sin(10°)cos(40°)


＝　1 +{ -2 sin(50°) sin(30 ...

現在半角公式在第一次公開考試是不納入範圍內
我剛剛上網看了證明
在什麼時間用半角公式比較好呢?
為什麼在這一題要用半角公式呢?
用半角公式目的通常在哪



想請問多一個運用半角公式的問題

sin^2 10° =sin^2 20°/2
sin^2 20°/2=正負根號(1-cos20°)/2
sin20°/2   =  正負(1-cos20°)/2
那正負怎樣處理?

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作者: weiye    時間: 2008-2-25 21:16

引用:

原帖由 popopoi12345 於 2008-2-25 07:24 PM 發表
現在半角公式在第一次公開考試是不納入範圍內

台灣還是有教，其實半角公式就是倍角公式的一個應用而已。 :-)

引用:

我剛剛上網看了證明
在什麼時間用半角公式比較好呢?
為什麼在這一題要用半角公式呢?
用半角公式目的通常在哪

半角公式通常用在，需要把次方數變低次，或是求半角的時候。
像這一題，就是可以利用半角公式把次方數降低，由二次降為一次。

引用:

想請問多一個運用半角公式的問題

sin^2 (10°) =sin^2 (20°/2)
sin^2 (20°/2) =正負根號{1-cos20°} / 2
sin (20°/2)   =  正負(1-cos20°)/2
那正負怎樣處理?

上面推論的第二、三個等式是錯的，

應該是 sin (20°/2) =正負根號｛{1-cos20°} / 2｝

其中正負號的選取，就看 sin (20°/2) 裡面的角度 20°/2 是落在第一象限，

而正弦函數帶入的角度如果在在第一象限，取值為正，

故，sin (20°/2) =根號｛{1-cos20°} / 2｝

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作者: popopoi12345    時間: 2008-2-26 19:07

引用:

原帖由 weiye 於 2008-2-25 09:16 PM 發表

台灣還是有教，其實半角公式就是倍角公式的一個應用而已。 :-)


半角公式通常用在，需要把次方數變低次，或是求半角的時候。
像這一題，就是可以利用半角公式把次方數降低，由二次降為一次。


上面推論的第二、三個等式是錯 ...

那如果是角度是x 我不知道落在第幾象限
那是否不能用半角公式

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作者: weiye    時間: 2008-2-26 19:12

引用:

原帖由 popopoi12345 於 2008-2-26 07:07 PM 發表

那如果是角度是x 我不知道落在第幾象限
那是否不能用半角公式

如果不知道角度 x 是落在第幾象限，就只能寫

　　sin (x/2) =正負根號｛{1 - cosx} / 2｝

或是把兩邊同時平方，也就是

　　sin^2 (x/2) ={1 - cosx} / 2

　　

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