標題: 例題：拋物線光學性質的題目。 [打印本頁]

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作者: weiye    時間: 2008-1-9 22:24     標題: 例題：拋物線光學性質的題目。

引用:

設 R 為平面上一拋物線，其準線垂直於 Y 軸，且開口朝上。

(a)假設原點是 R 的頂點，且自 X 軸上方遠處沿直線 x = a (a不等於0)射出一道光，

經過拋物線R的兩次反射後，光束沿著直線 x = b 射出。

證：ab恆為定值。

因為頂點為 (0,0) ，且準線垂直y軸，所以可以令拋物線方程式為 x^2 = 4c*y ，其中 c 為此拋物線的焦距，

且由拋物線開口向上可知， c>0

故光反射時通過兩點座標為 A(a, a^2/{4c} ), B(b, b^2/{4c})

由拋物線的光學性質可知，光會通過焦點 B(0, c) ，

故 A,B,C 三點共線，利用〝AC斜率=BC斜率〞可得 ab = -4c^2 (為定值)

得證。

(為了下一小題，上式亦可寫成 a*(-b) = 4c^2，其中 a, -b 皆表示平行射入光束，與對稱軸的距離。)

引用:

(b) 現假設 R 的頂點在 X 軸上(不一定為原點)。

已知自 X 軸上方沿直線 x = -5 射出的光，經過 R 的兩次反射後的光束沿著 x = 3 射出；

若射入光束所言的直線是 x = -4，則經過R兩次反射後，光沿著 x = 6 射出。

試求拋物線 R 的焦點座標。

設頂點為 (α,0) ，且拋物線方程式為 (x -α )^2 = 4c y (其中 c>0)，則焦點為 (α, c)

由 (a) 小題，可知 (3-α) (α+5)=(6-α)(α+4)= 4c^2，解得 α 與 c

故，焦點 (α, c) 可知。

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