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標題: 三角函數題，求f(x)=cos(sinx) 之週期 [打印本頁]
作者: chu1976    時間: 2007-12-17 22:15     標題: 三角函數題，求f(x)=cos(sinx) 之週期

試問f(x)=cos(sinx) 之週期為何？
作者: weiye    時間: 2007-12-17 22:57

設 f( x ) 的週期為 T, 則

∵ f( x+π ) = cos(sin(x+π)) = cos( - sin(x)) = cos(sin(x)) = f(x)

∴ π = n×T ，其中 n 為某個正整數，亦即 T = π / n

因為 sin  在 [0, π/2] 是"嚴格"單調遞增函數且值域為 [0, 1] ，及 cos 在 [0,1] 是"嚴格"單調遞減函數

所以 cos(sin x) 在 [0, π/2] 是"嚴格"單調遞減函數，故週期不可能小於或等於 π/2

故 cos(sinx) 之週期為 π
作者: chu1976    時間: 2007-12-17 23:39

不好意思,關於以下紅字部分的解說不甚了解
π = n×T ，其中 n 為某個正整數，亦即 T = π / n 因為 sin 在 [0, π/2] 是單調遞增函數且值域為 [0, 1] ，及 cos 在 [0,1] 是單調遞減函數 所以 cos(sin x) 在 [0, π/2] 是單調遞減函數，故週期不可能小於或等於 π/2 故 cos(sinx) 之週期為 π
作者: weiye    時間: 2007-12-18 08:48

引用:
原帖由 chu1976 於 2007-12-17 11:39 PM 發表
不好意思,關於以下紅字部分的解說不甚了解
π = n×T ，其中 n 為某個正整數，亦即 T = π / n
因為 T 是週期，也就是最小的循環長度，

且已知 cos(sin(x)) 每  π 個長度會循環(也就是距離 π 個單位就會有相同的函數值)。

所以 π 一定是 T 的正整數倍數。
引用:
因為 sin 在 [0, π/2] 是單調遞增函數且值域為 [0, 1] ，及 cos 在 [0,1] 是單調遞減函數 所以 cos(sin x) 在 [0, π/2] 是單調遞減函數，故週期不可能小於或等於 π/2 故 cos(sinx) 之週期為 π
我應該加上 "嚴格"單調遞減比較恰當，

cos(sin(x)) 在 [0, π/2] 區間時是嚴格單調遞減函數，

嚴格單調遞減函數必有：若 x > y  ，則  f(x) < f(y) 的特性(隨著變數越大，函數值就越來越小)。

而因為 T 是週期，所以  f(x+T)=f(x) ，

x 以 0 帶入，必有 f(0)=f(T) ，

如果 T 小於或等於 π/2 ，

則 cos(sin(x)) 當 x 在 [0, π/2] 區間時，至少會有兩個函數值相等，

這與 cos(sin(x)) 在 [0, π/2] 區間時是嚴格單調函數的性質相矛盾，

故 T 不可能小於或等於 π/2。
作者: bugmens    時間: 2010-4-10 12:58

補充相關題目
求出(并予以证明)函数\( y=sin(cos x) \)的最小正周期
(新奥数教程　高一卷　第10讲三角函数的性质及应用)

设\( x \in [0,\pi] \)，试比较\( cos(sin x) \)与\( sin(cos x) \)大小

附上geogebra畫面
可以看出\( y=sin(cos x) \)週期\( 2 \pi \)，\( y=cos(sin x) \)週期\( \pi \)
且\( cos(sin x)>sin(cos x) \)

2010.5.28補充
請問對於所有實數x，\( sin(cos x) \),\( cos(sin x) \)哪一個大？(請詳細證明)
92高中數學能力競賽台南區，連結已失效h ttp://www.math.nuk.edu.tw/senpengeu/HighSchool/2004_Taiwan_High_Tainan_01.pdf

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