標題:
115大安高工二招
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作者:
kobelian
時間:
2026-8-14 21:11
標題:
115大安高工二招
第二次
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115大安高工二招題目.pdf
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115大安高工二招答案.pdf
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作者:
bugmens
時間:
2026-8-17 10:55
一、填充題
1.
已知直角\(\triangle ABC\)其三邊長分別為\(\overline{AC}=3\)，\(\overline{BC}=4\)，\(\overline{AB}=5\)，設\(P\)為\(\triangle ABC\)內部一點，且\(P\)點到\(\overline{AC}\)、\(\overline{BC}\)、\(\overline{AB}\)的距離分別為\(x\)、\(y\)、\(z\)，求\(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\)的最大值為
。
2.
若一個三角形的三邊長分別為\(\sqrt{5}\)、\(\sqrt{10}\)、\(\sqrt{13}\)，則其面積為
。
3.
設\(x\)為實數，則\(f(x)=\displaystyle\frac{\sin x\cdot\cos x}{1+\sin x+\cos x}\)的最大值為
。
4.
\(\triangle ABC\)中，\(D\)為\(\overline{BC}\)邊上一點，已知\(\angle ABC=75^\circ\)，\(\angle ACB=45^\circ\)，\(\angle ADB=60^\circ\)，若\(\vec{AD}=m\vec{AB}+n\vec{AC}\)，其中\(m\)、\(n\)為實數，則\(m-n=\)
。
5.
已知\(|\;\vec{a}|\;=2\sqrt{2}\)，\(|\;\vec{b}|\;=3\)，\(\vec{a}\)、\(\vec{b}\)夾角為\(45^\circ\)，若\(\vec{u}=5\vec{a}+2\vec{b}\)，\(\vec{v}=\vec{a}-3\vec{b}\)，則以\(\vec{u}\)、\(\vec{v}\)為鄰邊的平行四邊形較短的對角線長度為
。
6.
若多項式\(f(x)\)除以\(x(x-1)\)餘式為\(ax+3\)，除以\(x(x+1)\)餘式為\(-3x+b\)，除以\(x^2-1\)餘式為\(cx+4\)，其中\(a\)、\(b\)、\(c\)為實數，則\(f(x)\)除以\(x(x^2-1)\)的餘式為
。
7.
設數列\(\langle a_n\rangle\)的遞迴關係式為\(\begin{cases}a_1=1\\a_n=a_{n-1}+(2n-1),\;n\ge2\end{cases}\)，則其一般項\(a_n\)可整理成\(a_n=\)
。
8.
下圖中，\(a_n\)為每個圖中所有黑點的個數，已知\(a_1=1\)，\(a_2=6\)，\(a_3=15\)，\(a_4=28\)，依此規則求\(a_{10}=\)
。
(我的教甄準備之路 找出圖形的規律，
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid5274
)
9.
已知過函數\(f(x)=-x^3+ax^2+bx-5\)圖形上所有點的切線斜率中，以\(P(1,3)\)為切點的切線斜率最大，其中\(a\)、\(b\)為實數，則\(a-b\)之值為
。
10.
設\(a=log_{\sqrt{4}}\left(\sqrt{\sqrt{\ldots \sqrt{\sqrt{4\times4}}}} \right)\)，其中\(\sqrt{\sqrt{\ldots \sqrt{\sqrt{4\times4}}}}\)共含2026層二次根號，則\(a\)之值為
。
11.
已知座標平面上，矩形\(OABC\)中，\(O(0,0)\)，\(A(4,2)\)，\(\overline{OA}:\overline{OC}=2:1\)且\(B\)、\(C\)兩點均在\(x\)軸上方，則\(B\)點的座標為
。
12.
如右圖，\(ABCD\text{-}EFGH\)是一個邊長為5的正方體，已知\(\overline{GP}=4\)，\(\overline{GQ}=\overline{GR}=2\)，求\(A\)點到平面\(PQR\)的最短距離為
。
13.
求空間中兩直線\(L_1\)：\(\displaystyle\frac{x}{2}=\frac{y-7}{1}=\frac{z+1}{-2}\)和\(L_2\)：\(\displaystyle\frac{x-2}{3}=\frac{y+2}{2}=\frac{z-6}{-2}\)的距離為
。
14.
甲袋中有1白球1紅球，乙袋中有1白球。今從甲袋取1球放入乙袋，再從乙袋取1球放入甲袋，完成此動作稱為一局。若每球被取到的機會均等，求第三局結束時，甲袋有1白球1紅球的機率為
。
15.
設\(A=\begin{bmatrix}8&-6\\9&-7\end{bmatrix}\)，\(P=\begin{bmatrix}2&1\\3&1\end{bmatrix}\)，\(B\)為二階方陣，若\(AP=PB\)，且\(B=\begin{bmatrix}b_1&b_2\\b_3&b_4\end{bmatrix}\)，\(A^7=\begin{bmatrix}a_1&a_2\\a_3&a_4\end{bmatrix}\)，則\(b_1+a_4=\)
。
16.
甲從\(\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\)中任選3個相異數字，將它們由大到小排成一個三位數；乙從\(\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\)中任選3個相異數字，也將它們由大到小排成一個三位數。求甲所排的數比乙所排的數大的機率為
。
二、問答題
此大題為學生常犯的錯誤解法，請在答案卷上先指出學生的錯誤，並再寫出正確的詳解：
1.
題目：5個不同的獎品全部分給甲、乙、丙、丁4人，每人可兼得，若甲至少分得2件，則共有幾種分法？
學生解：先分給甲2件，剩下3件再任意分給4人，所以共有\(C_2^5\times4^3=640\)種分法
2.
題目：設\(x,y\)均為實數，且\(2\le x\le5\)，\(-4\le y\le3\)，求下列各數的範圍：(1)\(\displaystyle\frac{y}{x}\) (2)\(x^2+y^2\)。
學生解：
(1)\(\displaystyle\frac{-4}{2}\le\frac{y}{x}\le\frac{3}{5}\Rightarrow-2\le\frac{y}{x}\le\frac{3}{5}\)
(2)\(4\le x^2\le25\)，\(9\le y^2\le16\Rightarrow13\le x^2+y^2\le41\)
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