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標題: 115竹東高中 [打印本頁]

作者: kobelian 時間: 2026-8-4 17:12 標題: 115竹東高中

竹東高中二招
一招從缺

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作者: bugmens 時間: 2026-8-8 13:45

一、填充題
1.
試求方程式\(x^4-2x^3-x^2-2x+1=0\)的所有實根和為何？

2.
坐標平面上有三條直線\(L,L_1,L_2\)，其中\(L\)的斜率為\(\displaystyle\frac{1}{4}\)，\(L_1,L_2\)的斜率分別為\(\displaystyle\frac{3}{4}\)及\(-\displaystyle\frac{3}{4}\)，已知\(L\)被\(L_1,L_2\)所截出的線段長為\(102\)，則\(L,L_1,L_2\)三條直線所圍成的三角形面積為何？

3.
已知三次函數\(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\)（其中\(a,b,c,d\in\mathbb{R}\)且\(a\ne0\)），若函數\(f(x)\)的對稱中心為\((1,2)\)，且局部看函數\(y=f(x)\)的圖形在\(x=2\)附近近似於一條斜率為\(-4\)的直線，則\(\left|\displaystyle\frac{b^2+c^2+d^2}{a}\right|\)的最小值為何？

4.
投擲一均勻骰子4次，出現點數依次為\(a,b,c,d\)，求四個點數乘積\(abcd\)為100的倍數的機率為何？

5.
已知空間中有一個四面體的四個頂點分別為\(A(0,0,1)\)，\(B(2,4,0)\)，\(C(0,0,0)\)，\(D(4,2,0)\)，平面\(E\)通過\(A\)點與\(\overline{BD}\)中點且與\(\overline{BC}\)有交點，若平面\(E\)將此四面體分成兩塊，其中一塊的體積為原四面體的\(\displaystyle\frac{1}{3}\)，求平面\(E\)的方程式為何？

6.
設\(A(\alpha),B(\beta),C(\gamma)\)為複數平面上不共線的三點，且都不在實軸上，\(\alpha\beta\gamma\ne0\)，若\(\overline{AC}=4\)且\(\alpha^2+4\beta^2+5\gamma^2=2\gamma(\alpha+4\beta)\)，則\(\overline{AB}\)長為何？

7.
以四種顏色畫筆塗下圖8格方格（固定的，不考慮旋轉），每種顏色皆各塗兩格，每格方格只塗一種顏色，同色不相鄰，則有幾種不同的塗法？（只考慮最後結果，不考慮過程中方格塗色的順序）

8.
已知空間中兩點\(A(7,6,3)\)，\(B(5,-1,2)\)與直線\(L:\displaystyle\frac{x-1}{2}=y=\frac{z-3}{-2}\)，若\(P\)為直線\(L\)上的動點，求\(\overline{PA}+\overline{PB}\)的最小值為何？

9.
設橢圓\(\Gamma\)之方程式為\(\displaystyle\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{25}=1\)，兩焦點為\(F_1(0,c)\)及\(F_2(0,-c)\)，其中\(c>0\)。設\(R\)為\(\Gamma\)內部被兩正焦弦所夾之區域。將\(R\)繞\(\Gamma\)的長軸旋轉一周形成一酒桶狀立體區域\(V\)，則\(V\)的體積之值為何？

10.
假設矩陣\(M=\begin{bmatrix}2&-3&2&-32&-2\\1&-1&1&-13&0\\3&2&2&-7&9\end{bmatrix}\)經過多次的列運算之後，得到另一個矩陣\(M'=\begin{bmatrix}6&5&-1&a&d\\2&1&4&b&e\\1&3&-3&c&f\end{bmatrix}\)，試求序組\((a,b,c,d,e,f)\)為何？

二、計算證明題
1.
若存在三個相異實數\(k\)使得\(y=kx+3\)與\(y=2x^3-6x^2+a\)相切，求：
(1)實數\(a\)的範圍？
(2)滿足此條件的整數\(a\)及有理數\(k\)所代表的曲線與切線所圍成的面積？

2.
如圖，有一個底半徑為6公分的圓柱體，被一個通過底圓直徑\(AB\)且與底面夾\(60^\circ\)角的平面所截，試求所截出的立體體積。（如圖陰影與斜線的體積）

3.
\(n\)筆數據\((x_i,y_i)\)，\(1\le i\le n\)，若\(n\)筆數據\((x_i,y_i)\)的相關係數存在並記為\(r\)，試利用『高一』數學範圍的方法證明\(|r|\le1\)。

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