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標題: 115新竹高中 [打印本頁]
作者: kobelian    時間: 2026-7-13 14:40     標題: 115新竹高中

新竹高中

115.7.22版主補充
新竹高中第一、二招沒有招考數學教師，到第三招才有招考數學教師，故文章標題和題目檔名不加上三招。

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作者: bugmens    時間: 2026-7-13 19:23

一、填充題
1.
設\(x,y,z\)皆為實數，若\(2x+y+z=3\)，則行列式\(T=\begin{vmatrix}x^2+2&xy&xz\\xy&y^2+2&yz\\xz&yz&z^2+2\end{vmatrix}\)的最小值為　　　。

2.
試求定積分\(\displaystyle\int_{-2}^{2}\left|\sqrt{4-x^2}-x\right|dx=\)　　　。

3.
設\(\alpha\)為方程式\(x^3+3x^2+6x+14=0\)的實根，且\(\beta\)為方程式\(x^3+9x^2+30x+26=0\)的實根，則\(\alpha+\beta=\)　　　。

4.
有五種不同的禮物共10件，每種各有相同的2件，全部均分給甲、乙、丙、丁、戊5人，每人可得2件不同種的禮物，且任意2人的禮物不能完全相同，則分法有　　　種。

5.
有甲、乙兩個大小相同的盒子，甲盒中有5個球，乙盒中有6個球，每次隨機選擇1個盒子，並從中取出1個球不放回，直到某個盒子中不再有球時結束，則結束時是甲盒中沒有球的機率為　　　。

6.
已知平行四邊形\(ABCD\)中，\(\overline{AB}=4\)且\(\triangle ABD\)的外接圓半徑為5，則對角線\(\overline{AC}\)長的最大值為　　　。

7.
坐標空間中，已知四點坐標\(O(0,0,0)\)、\(A(2,2,1)\)、\(B(3,3,0)\)、\(C(1,-2,2)\)，且\(P\)點滿足\(\vec{OP}=\alpha\vec{OA}+\beta\vec{OB}+\gamma\vec{OC}\)，其中\(\alpha\ge0,\,\beta\ge0,\,\gamma\ge0\)且\(1\le\alpha+\beta+\gamma\le3\)，則所有\(P\)點形成的圖形體積為　　　。

8.
已知轉移矩陣\(A=\left[\matrix{\displaystyle\frac{1}{3}&a_1\cr a_2&\frac{3}{4}}\right]\)，鏡射矩陣\(B\)且\(B^3=\left[\matrix{\displaystyle b_1&\frac{4}{5}\cr b_2&\frac{3}{5}}\right]\)，旋轉矩陣\(C\)且\(C^6=\left[\matrix{c_1&c_2\cr 0&1}\right]\)（其中\(C\)為以原點為中心，逆時針旋轉一銳角的旋轉矩陣），若矩陣\(D=10\cdot A^7\cdot B\cdot C=\left[\matrix{a&b\cr c&d}\right]\)，則\(a+b+c+d=\)　　　。

9.
已知\(\triangle ABC\)中，\(\angle C=90^\circ\)，\(\angle B=30^\circ\)，\(\overline{AC}=2\)，\(M\)是\(\overline{AB}\)的中點，若將\(\triangle ACM\)的點\(A\)沿著摺線\(\overline{CM}\)折起，使得\(A,B\)兩點間的距離為\(2\sqrt{2}\)，則此時四面體\(A-BCM\)的體積為　　　。

10.
如圖所示，已知複數平面上的相異六個點\(A(0),B(z_1),C(z_2),D(z_3),E(z_4),F(z_5)\)，且將\(ABCDEF\)依逆時針方向可連成一個正六邊形。設\(\displaystyle\frac{z_5-z_1}{z_2-z_1}\)的主幅角為\(\alpha\)，\(\displaystyle\frac{z_4-z_3}{z_1-z_2}\)的主幅角為\(\beta\)且\(\displaystyle\frac{z_5-z_3}{z_3-z_1}\)的主幅角為\(\gamma\)，則\(\alpha+\beta+\gamma=\)　　　。

11.
坐標平面上，設圓\(C_1\)是以原點\(O\)為圓心且半徑為10的圓，且點\(A(p,q)\)滿足\(p^2+q^2=64\)。若有另一圓\(C_2\)通過\(A\)點且與圓\(C_1\)相切，令圓\(C_2\)的圓心為\(B(r,s)\)，則\(ps-qr\)的最大值為　　　。

12.
設\(n\)為正整數，若\(x^n\)除以\((x-1)(x-2)(x-4)\)的餘式為\(R(x)\)，則\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{R(0)}{R(-1)}=\)　　　。

二、計算題
1.
若實數\(x,y,z\)滿足\(x^3+y^3+z^3-3xyz=1\)，則\(x^2+y^2+z^2\)的最小值為何？

2.
設\(a\)為實數，若常數\(a\)使得關於\(x\)的方程式\(\log(x^2+20x)-\log(8x-6a-3)=0\)有唯一解，則\(a\)的取值範圍為何？

3.
已知\(\triangle ABC\)中，\(\overline{AB}=2\)，\(\angle C=2\angle A\)，則\(\triangle ABC\)面積的最大值為何？
作者: peter0210    時間: 2026-7-21 22:03

第六題，最大值即為 AM線段+MC線段

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