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標題: 115臺南市國中聯招 [打印本頁]
作者: weiye    時間: 2026-6-28 19:18     標題: 115臺南市國中聯招

115臺南市國中聯招

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作者: bugmens    時間: 2026-6-28 19:50

1.
求曲面\(\sqrt{x}+y^3+\sqrt{z}=4\)在其上一點\((4,1,1)\)上的切平面方程式為何？
(A)\(x+12y+z=17\)　(B)\(x+12y+2z=18\)　(C)\(x+y+12z=17\)　(D)\(x+2y+12z=18\)

2.
設\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)為矩陣\(A=\begin{pmatrix}2&-1&0\\-1&1&1\\0&1&2\end{pmatrix}\)的三個特徵值(eigenvalues)，則\(\alpha_1^3+\alpha_2^3+\alpha_3^3=\)？
(A)32　(B)33　(C)34　(D)35

3.
設\(x=\sqrt[3]{\sqrt{5}+2}-\sqrt[3]{\sqrt{5}-2}\)，則\(x^3+3x+2\)之值為何？
(A)5　(B)6　(C)7　(D)8

4.
下列何者不是11的倍數？
(A)\(24^{100}-1\)　(B)\(3^{90}-1\)　(C)\(63^{34}-4\)　(D)\(17^{48}+4\)

5.
設年利率為\(8\%\)，若依複利計算，則至少要\(n\)年(取整數年數)本利和才會超過本金的3倍。求\(n=\)？（\(\log2=0.301\)，\(\log3=0.477\)）
(A)14　(B)15　(C)16　(D)17

6.
設點\(A(3,0)\)，\(P\)為雙曲線\(x^2-y^2=1\)上任一點，則\(\overline{AP}\)之最小值為何？
(A)\(\sqrt{3.2}\)　(B)\(\sqrt{3.3}\)　(C)\(\sqrt{3.4}\)　(D)\(\sqrt{3.5}\)

7.
橢圓的參數方程式\(\begin{cases}x=-3+5\cos\theta\\y=4+3\sin\theta\end{cases}\)（\(\theta\)為參數），則它的焦點坐標可能為何？
(A)\((-7,4)\)　(B)\((3,4)\)　(C)\((-3,0)\)　(D)\((-3,8)\)

8.
在\(\triangle ABC\)中，若\(2\cos A\sin B=\sin C\)，則\(\triangle ABC\)一定是何種三角形？
(A)等邊三角形　(B)直角三角形　(C)等腰直角三角形　(D)等腰三角形

9.
求\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{n+n}\right)=\)？
(A)1　(B)\(\ln2\)　(C)2　(D)\(\ln3\)

10.
求\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n^2+n}}\right)=\)？
(A)1　(B)\(\displaystyle\frac{1}{2}\)　(C)\(\displaystyle\frac{1}{3}\)　(D)\(\displaystyle\frac{1}{4}\)

11.
兩個向量\(\vec{a}\)、\(\vec{b}\)滿足\(|\vec{a}-2\vec{b}|=1\)、\(|2\vec{a}+\vec{b}|=2\)，則\(6|\vec{a}|^2-4\vec{a}\cdot\vec{b}+9|\vec{b}|^2\)的值為何？
(A)2　(B)3　(C)6　(D)9

12.
已知\(f(x)=\displaystyle\frac{2-x}{1-2x}\)，定義\(f_1(x)=f(x)\)，\(f_{n+1}(x)=f(f_n(x))\)，則\(f_{10}(x)=\)？
(A)\(\displaystyle\frac{2-x}{1-2x}\)　(B)\(\displaystyle\frac{1-2x}{2-x}\)　(C)\(\displaystyle\frac{x-1}{x}\)　(D)\(x\)

13.
滿足\(\sqrt{1+\sqrt{x}}=\sqrt[3]{x-1}\)的實數解有幾個？
(A)1　(B)2　(C)3　(D)4

14.
關於導數（derivatives）與微分的性質，下列敘述何者正確？
(A)若函數\(f(x)\)可微分，則\(f\!\left(\displaystyle\frac{1}{x}\right)\)的導數為\(\displaystyle\frac{-1}{(f(x))^2}\)
(B)若\(f(x)=xe^2\)，則\(f'(x)=e^2+2xe\)
(C)若\(f(x)=|x^3+2x|\)，則\(f'(x)=|3x^2+2|\)
(D)若\(f(x)=\tan^2x\)且\(g(x)=\sec^2x\)，則\(f'(x)=g'(x)\)

15.
關於定積分與反導數（antiderivatives）的性質，下列敘述何者正確？
(A)若\(f\)為連續函數，則\(\displaystyle\int_3^xf(t)\,dt\)的最小值發生在\(x=3\)處
(B)若\(f\)為連續函數，則\(\displaystyle\int_x^{x+2}f(t)\,dt\)之值必為與\(x\)無關之常數
(C)若\(\displaystyle\int_1^4f(t)\,dt=12\)，則函數\(f\)在閉區間\([1,4]\)上的平均值為4
(D)偶函數(even functions)的反導數必為奇函數(odd functions)

16.
設級數\(S=3+3\times5+3\times5^2+\cdots+3\times5^{12}\)，則下列何者正確？
(A)\(S\)為10位數，個位數為6　(B)\(S\)為10位數，個位數為3
(C)\(S\)為9位數，個位數為2　(D)\(S\)為9位數，個位數為3

17.
已知圓\(x^2+y^2+4x+ky+m=0\)與直線\(2x-3y=7\)相切於點\((1,-1)\)，則\(2k+m=\)？
(A)\(-27\)　(B)\(-21\)　(C)\(-15\)　(D)2

18.
某城市有一種傳染病的診斷方法，根據過去的醫學經驗得知：確定染病的人經檢查被確診為患病的可能性為\(70\%\)；而健康的人經檢查卻被誤診為患病的可能性為\(10\%\)。已知該城市中實際患有此疾病的人口比例為\(2\%\)。若從該城市中隨機抽取一人進行檢測，請問該診斷方法對全體市民所造成的「誤診率」（即檢測結果與實際患病情況不符的機率）為多少？
(A)\(10.4\%\)　(B)\(12\%\)　(C)\(30.6\%\)　(D)\(40\%\)

19.
設\(A\)與\(B\)皆為\(3\times3\)的方陣，已知\(A\)的行列式值為\(-7\)，\(B\)的行列式值為\(\displaystyle\frac{1}{2}\)，試求矩陣\(-3A^TB^{-1}\)的行列式值為何？
(A)\(-378\)　(B)378　(C)\(\displaystyle\frac{63}{2}\)　(D)42

20.
設\(f(x)\)為一個三次多項式，若\(y=f(x)\)的圖形通過平面上的四個點：\((-3,120)\)、\((-2,51)\)、\((3,-24)\)與\((4,-69)\)，則此多項式的三次項係數為何？
(A)\(-2\)　(B)5　(C)\(-6\)　(D)3

21.
有一數列\(a_1+3,\,a_2+6,\,a_3+9,\,\ldots,\,a_9+27,\,a_{10}+30\)共計10項，其和為295。求\(\displaystyle\sum_{k=1}^{10}(a_k+4k)\)之值為何？
(A)130　(B)350　(C)360　(D)370

22.
如圖（一），設\(m\)為實數，若\(P\)點的坐標為\((2,3)\)。下列選項中，哪一個點坐標代入二元一次方程式\(y-3=m\times(x-2)\)後，所得之\(m\)值最小？
(A)\(A\)點　(B)\(B\)點　(C)\(C\)點　(D)\(D\)點

23.
若\(a,b,k\)為實數，\(a(x^2-4xy+5y^2-y)+b(3x^2-3y^2+x)+12xy-38x+12y+k=0\)的圖形為一個圓且圓半徑為2。關於此圖形的敘述，四位學生提出說明如下：
甲說：\(a\)的值為2，\(b\)的值為3
乙說：此圓的圓心是\(\left(2,-\displaystyle\frac{1}{2}\right)\)
丙說：\(k=\displaystyle\frac{1}{4}\)
丁說：\(k=\displaystyle\frac{9}{4}\)
請問：誰提出的說明正確？
(A)只有甲和乙　(B)只有甲和丙　(C)只有乙和丁　(D)只有甲、乙和丁

24.
坐標空間中有三個相異平面\(E_1,E_2,E_3\)皆通過\((-1,2,0)\)與\((1,1,1)\)兩點。坐標空間中另有甲\((2,-1,1)\)、乙\((3,0,2)\)、丙\((-3,3,1)\)、丁\((21,-9,11)\)四點。請問下列哪些點也同時在此三平面上？
(A)只有甲和乙　(B)只有乙和丙　(C)只有乙和丁　(D)只有丙和丁

25.
如圖（二），有一矩形\(ABCD\)內接於一個直徑為4的半圓形內，求此矩形的最大面積為何？
(A)\(2\sqrt{2}\)　(B)4　(C)\(4\sqrt{2}\)　(D)5

26.
若方程式\(|x^2+3x+2|=k\)恰有兩個實數解，此時\(k\)的值為何？
(A)\(k>0\)　(B)\(0<k<\displaystyle\frac{1}{4}\)　(C)\(k=0\)或\(k>\displaystyle\frac{1}{4}\)　(D)\(k=\displaystyle\frac{1}{4}\)

27.
正整數\(1\sim2026\)中，無論除以\(\displaystyle\frac{5}{2}\)、除以\(\displaystyle\frac{7}{4}\)或除以\(\displaystyle\frac{9}{6}\)後，結果仍然是整數的共有多少個？
(A)6個　(B)7個　(C)19個　(D)20個

28.
設函數\(h(x)=\displaystyle\frac{9^x}{9^x+3}\)，求\(\displaystyle h\left(\frac{1}{2027}\right)+h\!\left(\frac{2}{2027}\right)+\cdots+h\!\left(\frac{2025}{2027}\right)+h\!\left(\frac{2026}{2027}\right)=\)？
(A)\(2027\)　(B)\(2026\)　(C)\(1014\)　(D)\(1013\)

29.
求\(f(x)=\sin^2x\cos x\)的最大值＝？
(A)\(\displaystyle\frac{2\sqrt{3}}{9}\)　(B)\(\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{3}\)　(C)\(\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{3}\)　(D)\(\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{9}\)

30.
已知函數\(f\)滿足\(f\!\left(\displaystyle\frac{2+x}{2-x}\right)=x\)，求\(f'(3)=\)？
(A)1　(B)\(\displaystyle\frac{1}{2}\)　(C)\(\displaystyle\frac{1}{3}\)　(D)\(\displaystyle\frac{1}{4}\)

31.
若\(y=3\tan x-2\csc x\)，則\(\displaystyle y'\!\left(\frac{\pi}{3}\right)\)最接近下列哪一個整數？
(A)13　(B)14　(C)15　(D)16

32.
設\(f(x)=\displaystyle\frac{3^x-3^{-x}}{3^x+3^{-x}}\)，且\(f(m)=\displaystyle\frac{1}{5}\)，\(f(n)=\displaystyle\frac{1}{6}\)，求\(f(m+n)=\)？
(A)\(\displaystyle\frac{11}{30}\)　(B)\(\displaystyle\frac{12}{30}\)　(C)\(\displaystyle\frac{11}{31}\)　(D)\(\displaystyle\frac{12}{31}\)

33.
化簡\(\tan\!\left(\sin^{-1}\displaystyle\frac{8}{17}\right)=\)？
(A)\(\displaystyle\frac{15}{8}\)　(B)\(\displaystyle\frac{17}{8}\)　(C)\(\displaystyle\frac{8}{15}\)　(D)\(\displaystyle\frac{15}{17}\)

34.
求極限\(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{x+2}-\sqrt{2}}{\sin x}=\)？
(A)\(\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{4}\)　(B)\(\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}\)　(C)\(\displaystyle\frac{1}{2}\)　(D)0

35.
假設\(V\)是一個實數的內積空間，且讓\(v_1,v_2\in V\)。已知\(\langle v_1,v_1\rangle=\langle v_1,v_2\rangle=\langle v_2,v_2\rangle=1\)，則\(\|v_1+v_2\|=\)？
(A)0　(B)1　(C)2　(D)4

36.
方程式\((4\cos x\sin x+1)(\sin^2x+\cos x+1)=0\)在區間\([0,2\pi]\)裡有幾個解？
(A)3　(B)4　(C)5　(D)6

37.
下列哪個多項式沒有實數根？
(A)\(x^2+x-1=0\)　(B)\(x^3+2x^2+3x+4=0\)　(C)\(x^4+x^3+3x^2+2x+2=0\)　(D)\(x^5+x+1=0\)

38.
若\(f(x)=\cos x+\sin x\)，則\(f^{(1051)}=\)？
(A)\(\sin x+\cos x\)　(B)\(\sin x-\cos x\)　(C)\(-\sin x+\cos x\)　(D)\(-\sin x-\cos x\)

39.
下列哪個數字最大？
(A)\(10^{100}\)　(B)\(5^{150}\)　(C)\(\pi^{200}\)　(D)\(2^{300}\)

40.
下列哪個函數的圖形對原點對稱？
(A)\(\sin(x^3-x)\)　(B)\(\cos(\sin x)\)　(C)\(10^{\displaystyle \frac{1}{x}}\)　(D)\(\log_2|x|\)
作者: thepiano    時間: 2026-6-29 19:48     標題: 回覆 1# weiye 的帖子

第 17 題
切點 (1，-1) 不在切線 2x - 3y = 7 上，題目有誤，送分



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