標題:
115湖口高中第二次
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作者:
kobelian
時間:
2026-6-5 08:40
標題:
115湖口高中第二次
湖口
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115湖口高中二招題目.pdf
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115湖口高中二招答案.pdf
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作者:
bugmens
時間:
2026-6-5 08:44
一、填充題
1.
已知實數\(\alpha,\beta,\gamma\)為方程式\(x^3-3x+1=0\)的三個根。求\(\alpha^4+\beta^4+\gamma^4\)的值為
。
設\( x^3+2x^2+3x+4=0 \)三根為\( \alpha,\beta,\gamma \)，則\( \alpha^5+\beta^5+\gamma^5 \)
(99苗栗高中，連結有解答
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1019&page=1#pid2501
)
2.
設三階方陣\(A=\begin{bmatrix}1&1&1\\0&1&1\\0&0&1\end{bmatrix}\)，若\(B=A+A^2+A^3+\dots+A^{100}=\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix}\)，試求\(a+b+c+d+e+f+g+h+i\)為
。
設\( A=\left[ \matrix{1&1&1\cr0&1&1\cr0&0&1} \right] \)，則\(A^{102}\)中各元總和為
(105桃園高中，
https://math.pro/db/thread-2489-1-1.html
)
(我的教甄準備之路 矩陣\(n\)次方，
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid14875
)
3.
若可微函數\(f(x)\)滿足\(\displaystyle f(x)=x^{2}+x\int_{0}^{2}f(t)dt\)，則\(f(x)=\)
。
4.
已知兩直線\(L_1\)：\(\displaystyle \frac{x-1}{1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{a},L_2\)：\(\displaystyle \frac{x+1}{1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z+1}{-1}\)，若\(L_1,L_2\)的最近距離為\(\displaystyle \frac{5\sqrt{6}}{6}\)，試求\(a\)之值為何？
5.
在\(\triangle ABC\)中，三邊長為\(\overline{AB}=13,\overline{BC}=14,\overline{CA}=15\)。現有一個半圓內接於\(\triangle ABC\)中，其直徑落在\(\overline{BC}\)邊上，且半圓的弧與\(\overline{AB},\overline{AC}\)兩邊皆相切。求此半圓的半徑\(r\)為
。
6.
求下列極限值：
。
\(\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{(n+1)^{3}+(n+2)^{3}+(n+3)^{3}+\cdot\cdot\cdot+(n+3n)^{3}}{n^{4}}\)
(我的教甄準備之路 黎曼和和夾擠定理，
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid23615
)
7.
求值：\(\displaystyle \cos^{6}\frac{\pi}{8}+\cos^{6}\frac{3\pi}{8}+\cos^{6}\frac{5\pi}{8}+\cos^{6}\frac{7\pi}{8}=\)
。
8.
試求\(\displaystyle \int_{-2\sqrt{3}}^{2}\left(\sqrt{16-x^{2}}+2026xe^{x^{2}}\right)dx\)為何？
9.
求滿足方程式\(\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{2026}\)，且\(x\le y\)的正整數數對\((x,y)\)共有
組。
10.
在複數平面上的實數軸正向若有一點\(z\)，若\(z,z^2(\cos120^\circ+i\sin120^\circ),z^3(\cos240^\circ+i\sin240^\circ)\)的位置圍成的三角形面積等於\(\displaystyle \frac{\sqrt{3}(|z|^{3}+2)}{2(|z|-1)}\)，試求\(|\;z|\;\)值為何？
11.
已知三次函數\(f(x)=x^3-3x^2+px+q\)的對稱中心落在直線\(y=2x-1\)上。若\(f(x)\)的圖形與直線\(y=2x-1\)有三個相異交點，求實數\(p\)的範圍
。
12.
已知實變數函數\(\displaystyle f(x)=\frac{x^2+x+1}{x^2-x+1}\)，若此函數在\(x\in\mathbb{R}\)時的最大值為\(M\)，最小值為\(m\)，求\(M-m\)之值
。
13.
一密室逃脫遊戲的房間內有三扇門：
•一號門：走5分鐘後會回到原房間。
•二號門：走3分鐘後會回到原房間。
•三號門：走2分鐘後可以順利逃出迷宮。
每次進入房間玩家須擲一公正骰子決定走哪一扇門，若擲出奇數點則走一號門，若擲出2點或4點則走二號門，其餘點數則走三號門，請問此時逃出這個迷宮的期望時間是多少分鐘？
。
類似問題
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=804&page=1#pid1531
14.
已知\(\displaystyle z+\frac{1}{z}=2\cos15^{\circ}\)，求\(\displaystyle z^{2026}+\frac{1}{z^{2026}}\)的值
。
15.
設\(x\)為實數，試求\(\displaystyle y=\log_{3}\left|\frac{(\frac{4-\sqrt{3}}{2})x^{2}-\sqrt{3}x}{x^{2}+x+1}\right|\)的範圍為何？
16.
學校長廊上有100扇初始狀態皆為「關閉」的置物櫃門，編號從1到100。現在有100位同學排成一列，準備依序走過長廊執行以下動作：
•第1位同學走過去，將所有編號為1的倍數的門改變狀態（打開）。
•第2位同學走過去，將所有編號為2的倍數的門改變狀態（打開的關上，關上的打開）。
•第3位同學走過去，將所有編號為3的倍數的門改變狀態。
•依此類推，第\(n\)位同學會將所有編號為\(n\)的倍數的門改變狀態。
最後檢查時發現，第9位同學非常調皮。他經過所有「9的倍數」的門時，並沒有乖乖只拍一次，而是連續拍了「兩次」（也就是快速地開再關，或是關再開）。其他的同學則都完全遵守原本的規則。
問題：最後長廊上到底有幾扇門是呈現「打開」的狀態？
。
17.
有一座10階的樓梯，每次可以選擇跨1階或跨2階。為確保安全，規定「不能連續兩次都跨2階」。請問共有
種不同的上樓方法。
18.
方程式\(\displaystyle\sqrt{x+3-4\sqrt{x-1}}+\sqrt{x+8-6\sqrt{x-1}}=1\)的實數解為
。
19.
已知實數\(a>1,k>0\)。直線\(L\)：\(x+y=k\)分別與\(y=a^x\)及\(y=\log_a x\)的圖形交於\(P,Q\)兩點。設\(O\)為原點，若線段\(\overline{PQ}=4\sqrt{2}\)，且\(\triangle OPQ\)面積為12，求\(a,k\)之值
。
20.
已知\(\displaystyle \frac{\pi}{2}\le x\le\frac{3\pi}{4}\)，若\(\displaystyle f(x)=\frac{2\sin x+2\cos x+4}{\sin x+\cos x+1}\)，試求\(f(x)\)的範圍為
。
二、計算證明題
1.
若\(X\sim B(n,p)\)，則\(E(X^{3})\)為何？請將答案寫成\(a_3p^3+a_2p^2+a_1p+a_0\)的形式。
（可利用已知條件\(E(X)=np,Var(X)=np(1-p)\)進行計算）
2.
證明：若\(p\)為奇質數，已知一個「整數數列」\(\displaystyle L_n=\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n}+\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n},n\)為正整數。試證明\(\displaystyle\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{p}+\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{p}\)除以\(p\)之餘數為1。
（可利用Lucas定理：若\(p\)為質數且\(0<k<p\)，\(k\)為正整數，組合數\(\displaystyle C_k^p\)為\(p\)的倍數。）
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