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標題: 115中二中 [打印本頁]
作者: kobelian    時間: 2026-5-29 22:58     標題: 115中二中

115中二中

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作者: bugmens    時間: 2026-5-30 05:31

一、填充題
1.
空間中兩單位向量\(\vec{a}\)、\(\vec{b}\)，且\(\displaystyle\left|\vec{a}\times\vec{b}\right|=\frac{2}{3}\)，則\(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\left|\vec{a}+x\vec{b}\right|-\left|\vec{a}\right|}{x}\)的值為　　　。

2.
在空間中，已知點\(P(15,-14,23)\)及直線\(L\)：\(\displaystyle\frac{25-x}{15}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-18}{11}\)，若點\(Q\)、\(R\)在直線\(L\)上並使\(\overline{QP}:\overline{QR}=1:2\)且\(\angle PQR=60^{\circ}\)，則\(R\)點坐標為　　　。（兩解）

3.
求\(\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{x^{2}+x+1}-\sqrt[3]{x^{3}+2x^{2}+1}\right)=\)　　　。

4.
有9個球，其中2個紅球，3個黃球，4個白球，現在每次取一球，取後不放回，直到球取完為止，求紅球不是最早取完，也不是最後取完的機率為　　　。

5.
設\(m\)為十進位制的正整數，已知\(m\)的各個位數的乘積等於\(m^2-20m-19\)，試求\(m\)的所有可能值為　　　。

6.
坐標空間中有三個彼此互相垂直之向量\(\vec{u},\vec{v},\vec{w}\)。已知\(\vec{u}-\vec{v}=(-2,-3,0)\)且\(\vec{v}-\vec{w}=(3,1,2)\)。則由\(\vec{u},\vec{v},\vec{w}\)所張出之平行六面體的體積為　　　。

7.
小明有依序編號1至2026的不公正硬幣，1號硬幣出現正面的機率為1，反面為0；2號硬幣出現正面的機率為\(\displaystyle\frac{1}{2}\)，反面為\(\displaystyle\frac{1}{2}\)；3號硬幣出現正面的機率為\(\displaystyle\frac{1}{3}\)，反面為\(\displaystyle\frac{2}{3}\)，依此類推，2026號硬幣出現正面的機率為\(\displaystyle\frac{1}{2026}\)，反面為\(\displaystyle\frac{2025}{2026}\)。小明從有一元開始，依序1至2026號投擲硬幣，每次投擲時如果出現正面則錢變為原來兩倍，如果出現反面則錢保持不變。如果小明依序1至2026編號投擲完硬幣，請問小明會有多少錢的期望值為　　　。

8.
多項式\(f(x)=x^3-6x^2-5x+4\)，假設\(a\)跟\(b\)為實數，對所有的實數\(n\)使得\(bf(a)=f(a-n)+f(a+n)\)皆成立。試求出\(f(a)=\)　　　。

9.
將5個\(X\)和3個\(Y\)及2個\(Z\)任意排列，我們將連續的最大串的相同符號定義為一個連串，例如：\(XX\) \(YY\) \(XXX\) \(Y\) \(ZZ\)當中的第一個連串是\(XX\)，再\(YY\)，然後\(XXX\)，然後\(Y\)，最後是\(ZZ\)總共連串個數為5，而\(ZZ\)，\(Y\)，\(X\)，\(Y\)，\(XXX\)，\(Y\)，\(X\)的連串個數為7，則5個\(X\)和3個\(Y\)及2個\(Z\)任意排列後，連串個數為4的機率為　　　。

10.
設\(m,h\in\mathbb{R}\)，\((x-m)^2=4(y-mh)\)圖形沿著直線\(y=mx\)平移後產生新的圖形，新舊兩個圖形交點為\(P(5,3)\)，舊圖形在\(P\)點的切線斜率為\(m_1\)，新圖形在\(P\)點的切線斜率為\(m_2\)，且\(m_1+m_2=1\)，試求\(m\)值為　　　。

二、計算證明題
11.
設\(\Delta ABC\)及\(\Delta ECD\)為兩相似等腰三角形，有共同頂點\(C\)，其中\(B,C,D\)三點共線且頂點\(A,E\)在線段\(\overline{BD}\)的同側，如右圖。設\(\overline{AB}=5\)，在滿足\(\overline{AD}\perp\overline{BE}\)的條件下，當\(\angle BAC\)有最大的可能時，求出此時\(\Delta ABC\)及\(\Delta ECD\)的面積和為何？

12.
方程式\(x^{10}+(115x-1)^{10}=0\)有10個複數根：\(r_1,\overline{r_{1}},r_2,\overline{r_{2}},r_3,\overline{r_{3}},r_4,\overline{r_{4}},r_5,\overline{r_{5}}\)，其中\(\overline{r_{k}}\)是\(r_k\)的共軛複數\((k=1,2,3,4,5)\)，試求：
\(\displaystyle\frac{1}{r_1\overline{r_1}}+\frac{1}{r_2\overline{r_2}}+\frac{1}{r_3\overline{r_3}}+\frac{1}{r_4\overline{r_4}}+\frac{1}{r_5\overline{r_5}}\)的值。

The equation \(x^{10}+(13x-1)^{10}=0\) has 10 complex roots \(r_1,\overline{r_{1}},r_2,\overline{r_{2}},r_3,\overline{r_{3}},r_4,\overline{r_{4}},r_5,\overline{r_{5}}\),where the bar denotes complex conjugation.Find the value of \(\displaystyle\frac{1}{r_1\overline{r_1}}+\frac{1}{r_2\overline{r_2}}+\frac{1}{r_3\overline{r_3}}+\frac{1}{r_4\overline{r_4}}+\frac{1}{r_5\overline{r_5}}\).
(1994AIME，連結有解答https://artofproblemsolving.com/ ... Problems/Problem_13)

13.
在\(\Delta ABC\)之三邊\(\overline{AB}\)、\(\overline{BC}\)、\(\overline{AC}\)上分別取點\(D\)、\(E\)、\(F\)，使得\(\overline{AF}=\overline{FD}=9\)，\(\overline{CF}=\overline{FE}=12\)。設\(\Delta BDE\)之外接圓圓心為\(O\)，已知\(\overline{OF}=15\)，則\(\Delta BDE\)之外接圓半徑為多少？

14.
求以下極限之值\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=n}^{4n}\frac{n^{3}+k^{3}}{n^{2}k^{2}}\)為多少？
(我的教甄準備之路　黎曼和和夾擠定理，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid23615)

15.
已知橢圓\(\Gamma\)的中心為原點，長軸平行於\(x\)軸，正焦弦長為\(\displaystyle \frac{9}{2}\)，而且兩焦點的距離為\(2\sqrt{7}\)。若\(\Gamma\)在第二象限內有一點\(P\)，過\(P\)點之切線交\(x\)軸於\(A\)點，過\(P\)點之法線交\(x\)軸於\(B\)點，並且滿足\(\overline{AP}=\overline{BP}\)，則\(P\)點之坐標為何？
作者: thepiano    時間: 2026-5-30 13:55

以往都會公布試題與答案
去年錯了 2 題，今年就不公布答案了嗎？


參考答案，有錯請指正
一
(1) ±√5 / 3

(2) (40，-1，7)，(-5，5，40)

(3) -1/6

(4) 13/45

(5) 21

(6) 6√5

(7) 2027

(8) -22

(9) 1/60，感謝 Andye 老師指正

(10) 1/2


二
(11) 15

(12) 66130

(13) 3√13

(14) 33/4

(15) (-16/5，9/5)

[ 本帖最後由 thepiano 於 2026-6-1 20:24 編輯 ]
作者: Andye    時間: 2026-6-1 15:57

9.   5個X和3個Y及2個Z任意排列，要四連串我分成三大類：
X有兩串：XYZX、XZYX、YXZX、ZXYX、XYXZ、XZXY
                 X可以分成 4X+1X、3X+2X、2X+3X、1X+4X  ， Y、Z不用排因為都連在一起
                 所以是 6*4=24 種

Y有兩串：同上有6類，但Y只能分成 2Y+Y、Y+2Y
                 所以是 6*2=12 種

Z有兩串：同上上有6類，但Z只能分成 Z+Z
                 所以是 6*1=6 種

共 42 種符合，任意排則是 10! / (5!3!2!)
機率為 1 / 60


反覆想了幾次，感覺沒錯，想跟老師們核對看看！
作者: Charles    時間: 2026-6-1 17:51

整理一些答案，有誤再煩請指正，有些計算較複雜，再求神人提供更快解法




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作者: thepiano    時間: 2026-6-1 20:22     標題: 回覆 4# Andye 的帖子

您是對的，小弟打錯了
作者: peter0210    時間: 2026-6-3 21:20

13. 另解

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