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標題: 115南科實中 [打印本頁]

作者: hct 時間: 2026-5-24 23:05 標題: 115南科實中

115南科實中

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作者: bugmens 時間: 2026-5-24 23:59

第一部份、填充題
1.
設\(\alpha,\beta,\gamma\)為方程式\(\displaystyle(\log x)(\log5x)(\log\frac{x}{6})-(\log3x)^{2}+2=0\)的三根，則三根積\(\alpha\beta\gamma=\)　　　。

2.
平面上有兩點\(A(1,4)\)，\(B(3,2)\)，若點\(P(x,y)\)在以\(\overline{AB}\)為直徑之圓上移動，則\(xy-3x-2y\)之最大值為　　　。

3.
方程式\(\sin x-3\cos x=k\)在\(0\le x\le\pi\)的範圍內有兩個相異的實數解，則實數\(k\)的最大範圍為　　　。

4.
正項等比數列\(\{a_{n}\}\)滿足\(\displaystyle a_{2}=2\)、\(\displaystyle a_{6}=\frac{1}{8}\)，則\(a_1a_2+a_2a_3+\dots+a_{99}a_{100}\)的和\(=\)　　　。

5.
若一封信不知寄自TENNESSEE或MISSISSIPPI，但郵戳上恰有兩連續字母可認清，則在已知此兩字母是SS的條件下，此信寄自MISSISSIPPI的機率為　　　。

6.
已知橢圓：\(\displaystyle\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)\)。直線\(L\)為過橢圓上一點的切線，若橢圓的焦點\(F_1,F_2\)到\(L\)的垂足分別為\(M,N\)，求\(|\;F_1 M|\;\cdot|\;F_2 N|\;\)的值(以\(a,b\)表示)　　　。

7.
如圖，一長方體\(ABCD-EFGH\)，若直線\(\overline{BC}\)：\(\displaystyle\frac{x+6}{1}=\frac{y-5}{-1}=\frac{z+4}{-2}\)，直線\(\overline{FH}\)：\(\displaystyle\frac{x-2}{1}=\frac{y+3}{5}=\frac{z-1}{1}\)，點\(H(2,-3,1)\)，則長方體\(ABCD-EFGH\)的體積為　　　。

8.
有十個數\(a,b,c,d,e,f,8,11,12,17\)。若此十個數的平均數與\(a,b,c,d,e,f\)六個數的平均數相等，且兩組數的變異數也相等（變異數採用平均平方差定義），求此變異數為　　　。

9.
\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\left[\frac{n}{n^{2}}+\frac{n}{(n+2)^{2}}+\frac{n}{(n+4)^{2}}+\frac{n}{(n+6)^{2}}+\dots+\frac{n}{(3n-2)^{2}}\right]=\)　　　。

10.
設\(n\)為正整數，且\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)(k+2)(k+3)}=\frac{119}{2160}\)，求\(n=\)　　　。

11.
設\(t\)為實數，直線\(L_t\)：\((3\cos t)x+(5\sin t)y=15\)。若\(f(t)\)表示原點\((0,0)\)到直線\(L_t\)的距離，求\(f(t)\)的最小值為　　　。

12.
已知\(n\)與\(\sqrt{113\times115\times117\times119\times121+n}\)皆為正整數，則\(n\)的最小值為　　　。

Compute \(\sqrt{(31)(30)(29)(28)+1}\).
(1989AIME，連結有解答https://artofproblemsolving.com/ ... _Problems/Problem_1)

13.
有一個依順時針方向依序標示\(1,2,\dots,12\)數字的圓形時鐘(如圖)。一開始在此時鐘「12」點鐘位置擺設一枚棋子，然後每次投擲一枚均勻銅板，依投擲結果，照以下規則移動這枚棋子的位置：
(I)若出現正面，將棋子從當時位置依順時針方向移動5個鐘點。
(II)若出現反面，將棋子從當時位置依逆時針方向移動5個鐘點。
例如：若投擲銅板三次均為正面，則棋子第一次移動到「5」點鐘位置、第二次移動到「10」點鐘位置，第三次移動到「3」點鐘位置。
對任一正整數\(n\)，令隨機變數\(X_n\)代表依上述規則經過\(n\)次移動後棋子所在的點鐘位置，則\((X_{10}-7)\)的期望值為　　　。

14.
高斯記號\([x]\)表示不大於\(x\)的最大整數，若正實數\(a\)滿足\(\displaystyle\frac{1}{2}\times[a^{2}+a]=19a+99\)，則\(a=\)　　　。
(附註：\(\sqrt{540}\approx23.2379,\sqrt{541}\approx23.2594,\sqrt{542}\approx23.2809\))

第二部份、計算及證明題
1.
設\(a,b,c,d\ge0\)，求\(\displaystyle\frac{16d}{a+b+c}+\frac{25c}{a+b+d}+\frac{36b}{a+c+d}+\frac{49a}{b+c+d}\)的最小值。

2.
設\(0\le\theta<2\pi\)。考慮曲線\((4-2\sin\theta)x^{2}-(3\cos\theta)y=0\)與直線\(y=3x\)兩者有兩個交點（本題中重合也算兩個交點）。求使這兩交點間距離最大時的\(\theta\)。

3.
\(\triangle ABC\)中\(I\)為內心，內切圓半徑為\(r\)，\(\overline{BC}=a,\overline{CA}=b,\overline{AB}=c,\overline{AI}=x,\overline{BI}=y,\overline{CI}=z\)，\(\displaystyle s=\frac{a+b+c}{2}\)，試證明：\(abcr=xyzs\)。

作者: Charles 時間: 2026-5-27 13:25

整理了一些答案供大家參考，再煩請指教

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