標題:
115新竹自強高工
[打印本頁]
作者:
kobelian
時間:
2026-5-24 22:02
標題:
115新竹自強高工
第一屆 新竹自強高工
附件:
115自強高工題目.pdf
(2026-5-27 09:31, 481.63 KB) / 該附件被下載次數 143
https://math.pro/db/attachment.php?aid=7987&k=b4fedb0c7225d46a0f2852ac794d7ad9&t=1780522837
附件:
115自強高工答案.pdf
(2026-5-27 09:31, 116.06 KB) / 該附件被下載次數 123
https://math.pro/db/attachment.php?aid=7988&k=19c408c6850eedef3a37263e4ab99ba9&t=1780522837
作者:
bugmens
時間:
2026-5-24 23:59
一、選擇題
1.
設\(\theta\)是銳角，則\(\sqrt{1+\sin\theta}-\sqrt{1-\sin\theta}\)為：
(A)\(\displaystyle2\sin\frac{\theta}{2}\) (B)\(\displaystyle2\cos\frac{\theta}{2}\) (C)\(\sin\theta\) (D)\(\cos\theta\)
2.
某社區規劃在12月份（共31天）舉辦三場不同的節慶講座（冬至講座、聖誕講座、跨年講座）。為了讓住戶有充足休息，管委會規定：
(1)每場講座佔用一天，且各在不同日期舉行。
(2)任意兩場講座之間至少要隔4天（例如：若12/1辦講座，下一場最早只能在12/6舉辦）。
請問管委會共有多少種安排這三場講座日期的方案？
(A)1771 (B)10626 (C)13800 (D)26970
3.
某校規劃在校園平面圖上設置一條筆直的無障礙通道，通道中心線以直線\(3x-4y+6=0\)表示。校園中有一座圓形花圃，其邊界可用圓\((x-2)^2+(y-1)^2=4\)表示。若無障礙通道的中心線與圓形花圃的位置關係，需根據「圓心到直線的距離」來判斷，請問下列敘述何者正確？
(A)圓心到直線距離為8，且直線與圓相離。
(B)圓心到直線距離為2，且直線與圓相切。
(C)圓心到直線距離為\(\displaystyle \frac{16}{5}\)，且直線與圓相離。
(D)圓心到直線距離為\(\displaystyle \frac{8}{5}\)，且直線與圓交於兩點。
4.
某自動導航系統以複數平面表示無人機的位置。設基地為原點\(O\)，複數\(z=x+yi\)表示無人機校正前的位置，其中\(x\)、\(y\)的單位為公里。某次校正過程如下：
(1)先將位置向量以基地\(O\)為中心逆時針旋轉\(90^\circ\)，並縮小為原來的\(\displaystyle\frac{1}{2}\)；
(2)再將所得位置向東平移3公里、向北平移3公里。
若校正後的位置記為\(w\)，且校正前後無人機與基地的距離相等，也就是\(|z|=|w|\)。令所有滿足條件的點\(z\)在複數平面上形成軌跡\(\Gamma\)。若\(\Gamma\)與實軸交於兩點\(A\)、\(B\)，與虛軸交於兩點\(C\)、\(D\)，則四邊形\(ACBD\)的面積為何？
(A)28 (B)42 (C)56 (D)64
5.
設函數\(f(x)=a\cos(b(x-c))+d\)，其中\(\displaystyle a>0\)，\(b>0\)，\(0<c<\frac{\pi}{2}\)。已知\(f(x)\)的圖形滿足下列條件：
(1)最大值為5，最小值為-1；
(2)最小正週期為\(\displaystyle\frac{2\pi}{3}\)；
(3)圖形在\(\displaystyle x=\frac{\pi}{6}\)處取得最大值；
(4)圖形通過點\(\displaystyle \left(\frac{\pi}{3},2\right)\)。
下列哪一個函數可能是\(f(x)\)？
(A)\(\displaystyle f(x)=3\cos(3x+\frac{\pi}{2})+2\) (B)\(\displaystyle f(x)=3\cos(3x-\frac{\pi}{2})+2\)
(C)\(\displaystyle f(x)=3\cos(3x+\frac{\pi}{3})+2\) (D)\(\displaystyle f(x)=3\cos(3x-\frac{\pi}{3})+2\)
二、填充題
1.
設\(f(x)\)為一實係數多項式，\(-3\le x\le5\)，滿足\(\displaystyle f(x)=x^3-3x^2-x\left(\int_{0}^{2}f(t)dt\right)+38\)，則\(f(x)\)的最大值為
，最小值為
。
2.
設一\(\triangle ABC\)的三高為6,4,3，則最小角的餘弦值為
，\(\triangle ABC\)面積為
。
(我的教甄準備之路 三角形的面積，
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid2779
)
3.
(1)自1~12的12個自然數中，任選三個相異自然數\(a,b,c\)，且\(a<b<c\)。若規定這三個數的間隔至少要4(即\(b-a\ge4\)且\(c-b\ge4\))，則共有
組解。
(2)若將1~12這12個自然數排成一個圓圈。從中任選三個相異自然數\(a,b,c\)，且規定在圓圈上，任何兩個選中的數之間，至少都要隔著1個沒選中的數，則共有
組解。
4.
坐標平面上\((5,6)\)處有一光源，將圓\(x^2+(y-1)^2=1\)投影到\(x\)軸上，則投影的兩端點分別為\((\_\_\_\_\_,0)\)和\((\_\_\_\_\_,0)\)。
5.
設\(\displaystyle S_n=\frac{1}{\sqrt{n^2+3n}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+6n}}+\dots+\frac{1}{\sqrt{4n^2}}\)。
(1)若\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}S_n=\frac{2}{3}\)，並將其黎曼和表示為\(\displaystyle\int_{0}^{1}f(x)dx\)，則\(f(x)=\)
；
(2)若\(a>0\)，則\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n^2+an}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+2an}}+\dots+\frac{1}{\sqrt{(1+a)n^2}}\right)=\)
。
三、計算題
1.
(1)試對\(x\)微分：\(\displaystyle\int_{1}^{x^2}\frac{1}{1+t^4}dt\)。
(2)設\(\displaystyle\int_{3}^{x}\frac{1}{1+t^2}dt=F(x)\)，求\(\displaystyle\lim_{x\to3}\frac{F(x)}{x-3}=\)?
2.
設\((x,y)\)為區域\(4x-y-7\le0\)，\(3x-4y+11\ge0\)，\(x+3y-5\ge0\)內任一點，求：
(1)\(x-y\)的最大值。
(2)\(x^2+y^2\)之最大值與最小值。
3.方程式\(2\log_{10}(x-a)+1=\log_{10}(x-b)\)，甲生看錯\(b\)，解得二根為\(\displaystyle\frac{29}{10}\)、\(\displaystyle\frac{16}{5}\)；乙生看錯\(a\)，解得二根為\(\displaystyle\frac{44}{5}\)、\(\displaystyle\frac{73}{10}\)。求：
(1)\(a\)、\(b\)之值。
(2)此方程式的正確解。
歡迎光臨 Math Pro 數學補給站 (https://math.pro/db/)
論壇程式使用 Discuz! 6.1.0
附件: 115自強高工題目.pdf (2026-5-27 09:31, 481.63 KB) / 該附件被下載次數 143 附件: 115自強高工答案.pdf (2026-5-27 09:31, 116.06 KB) / 該附件被下載次數 123