標題:
115成淵高中
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作者:
weiye
時間:
2026-5-8 15:05
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115成淵高中
115成淵高中
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作者:
bugmens
時間:
2026-5-8 15:21
第壹部分：填充題
1.
滿足\(\displaystyle\sqrt{x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}}+\sqrt{x^{2}-x+\frac{1}{4}}=x+\frac{5}{6}\)的所有實數\(x\)為
0,1
。
2.
若\(\begin{cases}xy=64\\2\log_{x}y+3\log_{y}x=7\end{cases}\)，其中\(x,y\)為實數，則數對\((x,y)\)為
\((16,4),(2\sqrt{2},16\sqrt{2})\)
。
3.
設正立方體骰子\(A\)的六面點數分別為\(1,2,3,4,5,6\)，正立方體骰子\(B\)的六面點數分別為\(2,3,5,7,11,13\)，且兩個骰子各面出現的機率皆為\(\displaystyle\frac{1}{6}\)。某人投擲骰子\(A\)、\(B\)各一次，若\(A\)骰子的點數等於\(B\)骰子的點數，則可獲得\(2026\)元；若\(A\)骰子的點數大於\(B\)骰子的點數，則可獲得\(115\)元；若\(A\)骰子的點數小於\(B\)骰子的點數，則可獲得\(0\)元。設獲得金額的期望值為\(\displaystyle \frac{q}{p}\)元，其中\(p,q\)為兩互質的正整數，則數對\((p,q)\)為
\((18,3499)\)
。
4.
已知函數\(\displaystyle f(x)=1+\frac{3}{2}x+\sqrt{4-x^{2}}\)，其中\(-2\le x\le2\)。設函數\(f(x)\)的最大值為\(M\)，最小值為\(m\)，試求數對\((M,m)\)為
\((1+\sqrt{13},-2)\)
。
5.
已知\(x\)為正實數，則\(\displaystyle(x+\frac{1}{x})(x+\frac{2}{x})(x+\frac{4}{x})\)的最小值為
\(18\sqrt{2}\)
。
6.
如圖，平面上有一個四邊形\(ABCD\)，設兩對角線\(\overline{AC}\)與\(\overline{BD}\)交於點\(E\)，已知\(\overline{AB}=3,\overline{BC}=4,\overline{AC}=5,\overline{AD}=6,\overline{CD}=7\)，則線段\(\overline{AE}\)的長度為
\(\displaystyle\frac{48}{25}+(-\frac{3}{25})\sqrt{6}\)
。
7.
如圖，\(\triangle ABC\)中，\(\overline{AB}=5,\overline{AC}=6,\overline{BC}=7\)，\(\triangle ABC\)的內心為\(K\)點，\(Q\)點為\(\overline{AK}\)和\(\triangle ABC\)內切圓的交點，且\(\vec{AQ}=t\vec{AK}\)，則實數\(t\)的值為
\(\displaystyle\frac{5-\sqrt{10}}{5}\)
。
8.
在坐標平面上有一個橢圓的方程式為\(5x^{2}-6xy+5y^{2}=72\)，則此橢圓的正焦弦長為
3
。
9.
空間中有不共平面的四點\(O,A,B,C\)，令\(\vec{OA}=\vec{a}\)、\(\vec{OB}=\vec{b}\)、\(\vec{OC}=\vec{c}\)，\(D,E\)為空間中的兩點滿足\(\vec{OD}=\vec{a}+\vec{b}\)，\(\vec{OE}=\vec{a}+\vec{c}\)，\(P\)在\(\overline{DE}\)上且\(\overline{DP}:\overline{PE}=2:3\)。已知過\(A,C,D\)三點的平面與\(\vec{OP}\)交於點\(Q\)，則\(\triangle OAQ\)與\(\triangle APQ\)的面積比為
5:2
。
10.
已知方程式\(x^{3}-2x^{2}+3x-4=0\)之三根為\(\alpha,\beta,\gamma\)，且以\((\alpha^{2}+\alpha\beta+\beta^{2}),(\beta^{2}+\beta\gamma+\gamma^{2}),(\gamma^{2}+\gamma\alpha+\alpha^{2})\)為三根之方程式為\(x^{3}+ax^{2}+bx+c=0\)，數組\((a,b,c)\)為
\((1,7,23)\)
。
11.
在複數平面上，\(P_{k}\)表示\(\displaystyle(\cos\frac{2\pi}{5}+i\sin\frac{2\pi}{5})^{k}\)所代表的點\((k=0,1,2,3,4)\)，令以\(P_{1},P_{3},P_{4}\)為頂點的三角形其重心坐標為\(z\)，則\(|z|\)的值為
\(\displaystyle \frac{\sqrt{5}-1}{6}\)
。
12.
設\(f(x)\)為三次實係數多項式，滿足\(x^{3}\)項的係數為\(1\)，\(f(x)=0\)有三相異實根，\(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x}=-1\)，函數值\(f(3)<0\)。已知\(y=f(x)\)的函數圖形會與\(x\)軸圍出兩個封閉區域，而且這兩個封閉區域的面積和為\(\displaystyle\frac{253}{2}\)，則\(f(3)\)的值為
\(-30\)
。
第貳部分：計算證明題
1.
某社團有六位同學，最高的同學為\(178\)公分，最矮的同學為\(158\)公分，另外還有兩位同學的身高分別為\(163\)公分和\(173\)公分。考慮這六位同學身高的數值，已知這六個數值為完全相異的正整數，且算術平均數等於中位數，請回答下列各小題。
(1)試證：這六個數值之總和是\(3\)的倍數。
(2)試求這六個數值之算術平均數的所有可能值。
【簡答】：(1)略(2)\(167,167.5,168,168.5,169\)
2.
數列\(\langle a_{n}\rangle\)滿足\(\begin{cases}a_{1}=2\\a_{n+1}=a_{n}^{2}+a_{n}+1,n\in\mathbb{N}\end{cases}\)，請回答下列各小題。
(1)證明：對於所有的正整數\(n\)，均滿足\(a_{n}-2\)是\(5\)的倍數。
(2)證明：對於所有的正整數\(n\)，均滿足\(a_{n}^{2}+1\)是\(5^n\)的倍數。
【簡答】：(1)略(2)略
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