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標題: 115新北聯招 [打印本頁]

作者: kobelian 時間: 2026-4-25 14:16 標題: 115新北聯招

新北聯招

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作者: bugmens 時間: 2026-4-25 14:43

一、填充題
1.
與\(115\)互質的正整數，由小到大排列形成一數列，例如：\(1,2,3,4,6,7,\dots\)，試問此數列第\(2026\)項為何？

將與105互質的所有正整數由小到大排成一個數列，則此數列第2014項為？
(103桃園高中，連結有解答https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1881&page=1#pid10251)

2.
小明將自己的生日，月份寫成兩質數的和，日期寫成兩質數的差，最後將此四個質數相乘，得到\(2590\)。試問小明的生日是幾月幾日？

3.
已知正實數\(a,b,c\)滿足\(a^{a}=2(\sqrt{b^{b}})=5(\sqrt[5]{c^{c}})=10\)，則\(\displaystyle\log[(a\log a)^{3}+(\frac{b}{2}\log b)^{3}+(\frac{c}{5}\log c)^{3}]+3abc(\log a)(\log b)(\log c)\)的值為何？

4.
已知實係數多項式方程式\(x^{3}+ax^{2}+bx+8=0\)恰有兩根相等且\(ab=8\)，則\(a-b\)的值為何？

5.
坐標平面上，已知水平線\(y=k\)上恰有相異四個點，可與點\(A(2,-2)\)、點\(B(-1,2)\)形成等腰三角形，試問這樣的\(k\)共有幾種可能？

坐標平面上有\(A(2,-2),B(-1,2)\)兩點，試問直線\(y=-6\)上有多少個點\(C\)使得\(ABC\)為等腰三角形？
(1)1　(2)2　(3)3　(4)4　(5)5
(115學測數學A)

6.
空間中有一個三角形，其三個頂點坐標分別為\(A(-3,-2,1)\)、\(B(3,1,1)\)、\(C(-1,0,2)\)，若此三角形的內切圓半徑為\(a+b\sqrt{c}+d\sqrt{e}+f\sqrt{g}\)（有理化至最簡根式），其中\(a,b,c,d,e,f,g\)都是有理數，則\(c+e+g\)的值為何？

7.
已知函數\(f\)滿足\(f(1+x)+f(1-x)=|x|^{2025}\)，則積分\(\displaystyle\int_{0}^{2}f(x)dx\)之值為？

8.
給定一個初始數列，將相鄰兩項，用右邊的項減左邊的項後所得到的值寫在此兩項中間，這樣稱作一個操作。例如：初始數列為\(3,8\)，操作一次後變\(3,5,8\)，操作第二次變\(3,2,5,3,8\)，操作第三次後變成\(3,-1,2,3,5,-2,3,5,8\)。現在初始數列改為\(115,2026\)，試問操作\(20\)次後得到的數列，其各項總和為多少？

9.
已知正整數數列\(a_{n}(n\in\mathbb{N})\)滿足\(\displaystyle a_{1}=\frac{2^{2026}(2^{2026}-1)}{3}\)且\(a_{n+1}=\begin{cases}\displaystyle\frac{a_{n}}{2}&,a_{n}\text{為偶數}\\3a_{n}+1&,a_{n}\text{為奇數}\end{cases}\)，則此數列從第幾項開始為\(1\)，並且開始形成週期數列？
(3x+1猜想，https://math.pro/db/thread-261-1-1.html)

10.
已知\(a\)、\(b\)、\(\theta\)為實數，其中\(a^{2}+b^{2}>4\)，則\(f(a,b,\theta)=\sqrt{(a-2\cos\theta)^{2}+(b-2\sin\theta)^{2}}+\sqrt{(a+3)^{2}+(b-4)^{2}}\)的最小值為何？
(我的教甄準備之路　兩根號的極值問題，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid22174)

二、計算題
1.
已知\(x\)、\(y\)、\(z\)三數滿足\(x+y+z=1\)且\(x^{3}+y^{3}+z^{3}=2026\)，則\((x+y)(y+z)(z+x)\)之值為何？
(類似問題https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2543&page=1#pid15832)

2.
設\(\triangle ABC\)中，三邊長\(\overline{AB}=c\)，\(\overline{BC}=a\)，\(\overline{CA}=b\)且\(b>c\)，若\(\angle BAC=30^{\circ}\)，則\(\displaystyle\frac{b^{2}-c^{2}}{a^{2}}\)的最大值為何？

作者: Charles 時間: 2026-4-27 18:23

這是我整理的一些答案，受這個網站幫助很多，希望能回饋給這裡的用戶
有瑕疵再煩請指教

115新北聯招(詳解).pdf (456.83 KB)

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作者: DavidGuo 時間: 2026-4-29 20:15 標題: 回覆 3# Charles 的帖子

這次新北的題目出的很好，
不是每一題都要想很久，平均只有三四十的那種，
而是有易有難，只要有練習，應該就能拿個七八十，而厲害的人，應該可以滿分，我猜鑑別度應該蠻高的。

[ 本帖最後由 DavidGuo 於 2026-4-29 20:17 編輯 ]

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