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標題: 115沙崙高中 [打印本頁]
作者: Superconan    時間: 2026-4-13 19:40     標題: 115沙崙高中

如題

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作者: bugmens    時間: 2026-4-13 22:06

一、填充題
1.
已知\(|\log x|=ax+b\)的三個實根成等比且公比為2，試求\(10^b\)的值　　　。

2.
如下圖，在\(3\times3\)方格中，隨機塗上紅色、黃色及綠色，且每種顏色各佔3格，試求出現「賓果」(即某一橫列、直行或對角線的顏色完全相同)的機率　　　。

3.
設實數\(x,y\)滿足\(x^2+y^2=4\)，試求\(x^3+y^3-3xy\)的最大值　　　。

4.
設複數\(z\)滿足\(z^{10}=1\)且\(z\neq1\)，試求\(\displaystyle\sum_{k=1}^{9}\frac{1}{1-z^k}=\)　　　。

5.
設\(n\)為正整數，若\(x^n\)除以\((x-2)(x-3)(x-4)\)的餘式為\(R(x)\)，試求\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{R(-1)}{R(0)}=\)　　　。

6.
設實係數多項式函數\(f(x)=ax^2+(2-a)\)，其中\(-1\le a\le2\)。在坐標平面上，令\(\Gamma\)為\(y=f(x)\)與\(x\)軸在\(-1\le x\le1\)所圍的區域。又令\(V\)為\(\Gamma\)繞\(x\)軸旋轉所得旋轉體的體積。試求體積\(V\)的最大值　　　。

7.
\(\langle a_n \rangle\)滿足\(\cases{\displaystyle a_1=2，a_2=8\cr \sqrt{a_n}=\frac{\sqrt{a_{n-1}}+\sqrt{a_{n+1}}}{2}}，n>1\)，則\(a_{300}=\)　　　。

8.
右圖為一邊長8的正立方體包裝盒展開圖，在盒底正中央擺上底面正方形邊長為6，側面腰長為\(3\sqrt{6}\)的四角錐，試問包裝後正四角錐頂點\(A\)與正立方體頂點\(B\)的距離=　　　。

9.
台南沙崙智慧綠能科學城正在舉辦「智慧自駕車迷宮挑戰賽」，目的是推廣人工智慧與智慧交通的科教應用。小安設計的自駕小車 Tesala（特沙拉） 參賽，並安裝了左、右兩個距離感測器，決策邏輯如下：
(1)當只有正前方有障礙物時，Tesala會隨機選擇向左轉\((L)\)或向右轉\((R)\)，且機率各為\(50\%\)。
(2)統計資料顯示，在沙崙智慧綠能科學城的模擬迷宮中，Tesala 遇到障礙物的情況(事件O)佔總行駛時間的\(30\%\)。
(3)在遇到障礙物的情況下，約有\(25\%\)的機率是左側同時也有障礙物(事件\(A\))的棘手狀況。
(4)另外，在未遇到障礙物的情況下，仍有約\(0.4\%\)的機率因感測器誤判或環境干擾而顯示「左側有障礙物」。
問題： 若某次比賽中，Tesala突然進行了左轉避障。請填寫在「左側有障礙物」的條件下，Tesala「遇到障礙物」的機率為　　　(四捨五入到小數第3位)。

10.
二數列\(\langle a_n\rangle\)、\(\langle b_n\rangle \)具有\(a_1=1,b_1=1\)，且\(\forall n \in \mathbb{N}\)，\(\cases{a_{n+1}=a_n-2b_n\cr b_{n+1}=a_n+4b_n}\)，求\(a_n+b_n=\)　　　。

11.
複數平面上\(A(\alpha)\)、\(B(\beta)\)、\(C(\gamma)\)，已知\(\begin{cases}|\alpha-\gamma|=6\\\alpha^2+4\beta^2+5\gamma^2-2\alpha\gamma-8\beta\gamma=0\end{cases}\)，求\(|\alpha-\beta|=\)　　　。

12.
空間座標中\(\begin{vmatrix}0&x&y&-z\\-x&0&1&-1\\-y&-1&0&1\\z&1&-1&0\end{vmatrix}=25\)的圖形表示二平行平面，則此二平行平面之距離　　　。

二、計算證明題
1.
設隨機變數\(X\)的機率分布為幾何分布\(G(p)\)，試證隨機變數\(X\)的期望值\(\displaystyle E(X)=\frac{1}{p}\)。

2.
空間中有一平面\(E:2x+3y-6z-24=0\)分別交三軸於\(A,B,C\)三點，問原點\(O\)與三點所構成之四面體之外接球與內切球半徑的和　　　。



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