標題:
115中正高中
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作者:
Superconan
時間:
2026-4-13 19:38
標題:
115中正高中
如題
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115中正高中.pdf
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作者:
bugmens
時間:
2026-4-13 22:06
一、填充題
1.
等差數列\(\langle a_n\rangle\)滿足\(a_7=1\)且公差\(d>0\)。若\(\displaystyle\sum_{k=1}^{11}\frac{1}{a_k\cdot a_{k+1}\cdot a_{k+2}}=11\)，則公差\(d=\)
。
2.
函數\(\displaystyle f(x)=\frac{\sqrt{1-x^2}}{5-x}\)(\(-1\le x\le1\))的最大值為
。
3.
集合\(S=\{1,2,\dots,8\}\)，令\(T=\{(A,B)\mid A\subseteq S,B\subseteq S且A\neq\emptyset,B\neq\emptyset,A\cap B=\emptyset\}\)，求\(n(T)=\)
。
4.
已知三次函數\(f(x)=4x^3-6x^2+3x+1\)，求\(\displaystyle\sum_{k=1}^{200}f\left(\frac{k}{201}\right)=\)
。
(我的教甄準備之路 頭尾相加乘為定值，
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid25489
)
5.
計算\(\log_4[(1+\tan1^\circ)\times(1+\tan2^\circ)\times\dots\times(1+\tan44^\circ)\times(1+\tan45^\circ)]=\)
。
(我的教甄準備之路 頭尾相加乘為定值，
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid25489
)
6.
已知\(\triangle ABC\)三邊長成等差數列，設公差\(d>0\)。若\(\triangle ABC\)外接圓半徑\(\displaystyle R=\frac{8}{15}\sqrt{15}\)、內切圓半徑\(\displaystyle r=\frac{\sqrt{15}}{4}\)，試求公差\(d=\)
。
7.
如右圖，正八面體\(ABCDEF\)的邊長為2。已知\(A\)為原點，\(A,D,E\)為\(xy\)平面上的點，\(B\)為\(yz\)平面上的點，則\(B\)到\(y\)軸的距離為
。
8.
計算無窮級數和：\(\displaystyle\frac{1}{3^1}+\frac{4}{3^2}+\frac{9}{3^3}+\dots+\frac{n^2}{3^n}+\dots=\)
。
求\( \displaystyle \frac{1^2}{3}+\frac{2^2}{3^2}+\frac{3^2}{3^3}+\frac{4^2}{3^4}+\frac{5^2}{3^5}+\ldots= \)？
(103大安高工，thepiano解題，下載20140507.doc
http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?p=10863#p10863
)
9.
設多項式函數\(\displaystyle F(x)=(x^4-5x^3+8x^2-4x+1)^4(x^5-6x^4+13x^3-12x^2+5x-2)^3(x^2-2x+2)^7\)，求其四階導數\(F^{(4)}(1)=\)
。
10.
設方程式\(f(x)=x^3-x^2+3x+31=0\)的三個根為\(\alpha\)、\(\beta\)、\(\gamma\)，則\((\alpha^3+27)(\beta^3+27)(\gamma^3+27)=\)
。
11.
\(\triangle ABC\)中，已知\(A(2,-4)\)，若\(\angle B\)、\(\angle C\)之角平分線方程式分別為\(L_1\)：\(x+y-2=0\)及\(L_2\)：\(x-3y-6=0\)，求\(\overline{BC}\)直線之方程式為
。
\(\Delta ABC\)中，\(A(2,-4)\)，若\(\angle B\)、\(\angle C\)之角平分線分別為\(L_1\)：\(x+y-2=0\)及\(L_2\)：\(x-3y-6=0\)，則\(\overline{BC}\)之方程式為
。
(101文華高中，連結有解答
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1333&page=3#pid5286
)
12.
某老師欲安排接下來4月10日至19日（共10天）安排訓練規劃，其中有5天安排「高強度訓練日」，另外有5天安排「修復日」。為了評估此安排的訓練品質，定義：如果某個「高強度訓練日」的前一天與後一天剛好都是「修復日」，則該日稱為「黃金孤立訓練日」（因為此時運動員能量最飽滿）。如果隨機在這10天中安排5天「高強度訓練日」(假設4月9日與20日均為修復日)，試求這10天中「黃金孤立訓練日」出現次數的期望值為
次。
二、計算題
1.
設\(n\)為正整數，試證明：\(\displaystyle 1+\frac{1}{2n-1}\le \root n \of 2\le 1+\frac{1}{n}\)。
2.
設\(A(1,2,-3)\)、\(B(5,-4,1)\)，\(P\)為平面\(E\)：\(x-2y+3z-4=0\)上任一點，試求\(\overline{PA}^2+\overline{PB}^2\)最小值。
空間中有三個點\(A(-1,2,5)\)，\(B(-2,1,2)\)，\(P(0,b,c)\)，則\( \overline{PA}^2+\overline{PB}^2 \)的最小値為
(100彰化藝術高中田中高中，連結有解答
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1152&page=3#pid3750
)
作者:
peter0210
時間:
2026-4-20 20:59
想請教如何快速求得g(x)中的四次項係數
[
本帖最後由 peter0210 於 2026-4-20 21:01 編輯
]
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9..png
(2026-4-20 21:01, 28.41 KB) / 該附件被下載次數 9
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作者:
yymath
時間:
2026-4-22 20:01
寫完詳解了！那個求4次微分的真的沒什麼好方法啊！
https://yinyumath.blogspot.com/2026/04/115-1.html#more
另外還有其它8份卷子的詳解
https://yinyumath.blogspot.com/2026/03/115-115.html
作者:
tsusy
時間:
2026-4-22 21:04
標題:
回覆 3# peter0210 的帖子
填充 9. 延續您這邊 \( g(x) = (x^{4}-x^{3}-x^{2}+x+1)^4 (x^{5}-x^{4}-x^{3}+x^{2}+x-1)^3 (x^2+1)^7 \)
注意到 \( x-1 \) 是 \( x^{5}-x^{4}-x^{3}+x^{2}+x-1 \) 的因式，分解得
\( x^{5}-x^{4}-x^{3}+x^{2}+x-1=(x-1)(x^{4}-x^{2}+1) \)
而上式中的 \( x^{4}-x^{2}+1 \)，可以配合 \( x^2 +1 \)，寫成立方和的形式，即
\( (x^{4}-x^{2}+1)(x^2+1) = x^{6}+1 \)
另一個四次式沒有看出好的分解，就 \( x^2+1 \) 與它直接硬乘，得
\( (x^{4}-x^{3}-x^{2}+x+1)(x^{2}+1)=x^{6}-x^{5}+x+1 \)
因此 \( g(x)=(x^{6}-x^{5}+x+1)^{4}(x-1)^{3}(x^{6}+1)^{3} \)
高於四次的部分不影響展開式中四次項的係數，僅需考慮
\( (x+1)^{4}(x-1)^{3}\cdot1^{3} = (x+1)(x^{2}-1)^{3}=(x+1)(x^{6}-3x^{4}+3x^{2}-1) \)
上式展開中四次項僅一項，其係數為 \( -3 \)，故所求 \( = F^{(4)}(1) = g^{(4)}(0) = 4! \times (-3) = -72 \)
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