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標題: 115嘉義高中 [打印本頁]

作者: kobelian 時間: 2026-4-12 09:41 標題: 115嘉義高中

嘉義高中

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作者: bugmens 時間: 2026-4-12 12:09

　

作者: peter0210 時間: 2026-4-14 21:04

7. 答案是否有誤，我求的是-61

作者: thepiano 時間: 2026-4-14 22:42 標題: 回覆 3# peter0210 的帖子

第 7 題
官方答案 -88，應該沒錯

作者: zj0209 時間: 2026-4-23 10:48

想請教一下第15題，謝謝

作者: weiye 時間: 2026-4-23 12:39 標題: 回覆 5# zj0209 的帖子

填充題第 15 題：

設 \(\triangle ABC\) 的外心、也就是\(\triangle BCD\) 的內心為 \(O\)，如圖。

因為 \(O\) 為 \(\triangle ABC\) 的外心，所以 \(\overline{OA}=\overline{OB}=\overline{OC}\)。

因為 \(O\) 為 \(\triangle BCD\) 的內心，所以 \(\overline{OB}, \overline{OC}, \overline{OD}\) 分別平分 \(\angle DBC, \angle BCD, \angle CDB\)。

令 \(\angle OBC = \theta\)，則

因為 \(\overline{OB}\) 平分 \(\angle DBC\)，所以 \(\angle OBD =\angle OBC = \theta\)。

因為 \(\overline{OB}=\overline{OC}\)，所以 \(\angle OCB = \angle OBC =\theta\)。

因為 \(\overline{OC}\) 平分 \(\angle BCD\)，所以 \(\angle OCD =\angle OCB = \theta\)。

因為 \(\overline{CD}\) 平分 \(\angle ACB\)，所以 \(\angle ACD =\angle DCB = 2\theta\)。

因為 \(\overline{OA}=\overline{OC}\)，所以 \(\angle OAC = \angle OCA =3\theta\)。

因為 \(\overline{OA}=\overline{OB}\)，所以 \(\angle OAB = \angle OBA =\theta\)。

如下圖。

利用 \(\triangle ABC\) 內角和為 \(360^\circ\)，得 \(10\theta =180^\circ\Rightarrow \theta = 18^\circ\)。

如下圖。

因為 \(\triangle DBC\) 與 \(\triangle ACD\) 皆為等腰三角形，所以 \(\overline{AC}=\overline{CD}=\overline{BD}=2\)。

因為 \(\triangle ABC\) 與 \(\triangle ACD\) 皆為內角 \(36^\circ-72^\circ-72^\circ\) 的相似三角形，

得 \(\displaystyle \frac{\overline{AB}}{\overline{AC}} = \frac{\overline{AC}}{\overline{AD}}\Rightarrow \frac{\overline{AB}}{2} = \frac{2}{\overline{AB}-2}\Rightarrow \overline{AB}=1\pm\sqrt{5}\)，負不合。

故 \(\overline{AB}=1+\sqrt{5}\)。

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作者: zj0209 時間: 2026-4-23 16:44

謝謝weiye老師！

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