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標題: 115鳳山高中 [打印本頁]

作者: weiye 時間: 2026-4-11 14:43 標題: 115鳳山高中

115鳳山高中

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作者: bugmens 時間: 2026-4-11 15:01

一、填充題
1.
若\(m\)，\(n\)為正數，且\(m^3+8n^3+18mn=27\)，試求：\(m^3n\)的最大值為　　　。

試問滿足\( m^3+n^3+99mn=33^3 \)且\( m \cdot n \ge 0 \)之序對\( (m,n) \)有幾組整數解？(A)2　(B)3　(C)33　(D)35　(E)99
(102玉里高中，連結有解答https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1730&page=1#pid9847)

2.
\(A=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\)，\(a,b,c,d\in\{0,1,-1,2\}\)，求\(A^{-1}\)不存在的機率為　　　。

\( A=\left[ \matrix{a & b \cr c & d} \right] \)，\( a,b,c,d \in \{ 0,1,-1,-2 \} \)，(1)\( A^2=[\ 0 ]\ \)的機率為　(2)\( A^{-1} \)不存在的機率為(答案皆須化簡)
(98家齊女中，連結有解答https://math.pro/db/viewthread.php?tid=803&page=1#pid1501)

3.
正八面體\(ABCDEF\)的邊長為\(2\)，如圖，已知\(A\)為原點，\(A,D,E\)為\(xy\)平面上的點，\(B\)為\(yz\)平面上的點，則點\(B\)到\(y\)軸的距離=　　　。
(100北一女中，連結有解答https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1123&page=2#pid5095)

4.
設橢圓曲線\(\Gamma\)：\(\displaystyle\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{27}=1\)與直線\(L\)：\(x=12\)。若\(A_0,F\)的坐標分別為\((6,0)\)、\((3,0)\)，在曲線\(\Gamma\)上另有11個點\(A_k,k=1,2,3,\ldots,11\)使得\(\angle A_0FA_1=\angle A_1FA_2=\dots=\angle A_{11}FA_0\)，令\(d_k\)為\(A_k\)到\(L\)的距離，試求\(\displaystyle\sum_{k=0}^{11}\frac{1}{d_k}=\)　　　。

5.
空間中若有一直線\(L\)：\(\displaystyle\frac{x-5}{3}=\frac{y-5}{2}=\frac{z-4}{-2}\)同時與兩平面\(E_1\)及\(E_2\)平行，且到兩平面距離均為\(2\)。若已知原點同時通過\(E_1\)及\(E_2\)，試求兩平面夾角的正弦值　　　。

6.
試求所有定義在\(\{x\in\mathbb{R}\mid x\neq\pm1\}\)上的函數\(f(x)\)，使其滿足\(\displaystyle f(x)+2f\left(\frac{x-3}{x+1}\right)=x\)，\(f(x)=\)　　　。

求所有函數\(f(x)\)，對任意實數\(x\)，\(|\;x|\;\ne 1\)，滿足\(\displaystyle \left(\frac{x-3}{x+1}\right)+\left(\frac{3+x}{1-x}\right)=x\)，則\(f(x)=\)　　　。
(100南港高工，連結有解答https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1143&page=1#pid3598
相關題目https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1143&page=4#pid7764)

7.
有一款手遊不定期推出促銷抽獎活動，其遊戲公司宣稱玩家抽中大獎的機率是\(10\%\)。設隨機變數\(X\)為連續抽獎直到抽中大獎才停止所需的抽獎次數，請以顯著水準\(\alpha=0.1\)計算抽獎次數\(X\)的拒絕域為　　　。

8.
若已知\(x-y=60^\circ\)，\(\cos^2x+\cos^2y\)的最大值為\(M\)，最小值為\(m\)，試求實數數對\((M,m)=\)　　　。

9.
設\(a\)為實數，若方程式\(x^2-(3a+1)x-2a+2=0\)有虛根\(z\)，且\(z^3\)為實數，則\(a\)值為　　　。

10.
給定座標平面上三點\(A(2,4),B(8,13),C(1,1)\)，若動點\(P\)滿足\(\vec{AP}\cdot\vec{BP}=|\vec{CP}|^2\)，則\(|2\vec{AP}+\vec{BP}|\)的最小值為　　　。

11.
若\(\vec{a}\)在\(\vec{u},\vec{v},\vec{w}\)上的正射影分別為\((1,2,2),(2,3,6),(3,1,4)\)，則\(\vec{a}=\)　　　。

12.
給定一多項式函數\(\displaystyle f(x)=x^3-\frac{3}{2}x^2-\frac{1}{4}x+1\)，則\(\displaystyle\sum_{k=1}^{2026}f\left(\frac{k}{2026}\right)=\)　　　。
(我的教甄準備之路　同尾廂加乘為定值，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid25489)

二、計算證明題
1.
設\(\alpha,\beta\)是方程式\(a cos x+b sin x-c=0\)，(\(a^2+b^2\neq 0\))的相異兩根，且\(\alpha-\beta\neq k\pi,(k\in\mathbb{Z})\)，求證：\(\displaystyle \cos^2\frac{\alpha-\beta}{2}=\frac{c^2}{a^2+b^2}\)。

2.
試以兩種方法解下列這道題目，並說明你在上課時會傾向於使用哪一種方法向學生說明，為什麼？
題目：已知拋物線的焦點為\((2,-1)\)，對稱軸平行\(y\)軸，且通過點\((-1,3)\)，則此拋物線的方程式為何？

3.
設\(a,b,c\)為實數，已知\(b,c\)是關於\(x\)的方程式\(x^2+(a-2)x+a^2-a-2=0\)的兩根，試回答下列問題：
(1)\(a\)值的範圍。
(2)\((a+1)^3+b^3+c^3\)的最小值。

作者: mathguy 時間: 2026-4-13 15:34 標題: 請問第一題如何解？

請問第一題解法？

作者: superlori 時間: 2026-4-13 20:35 標題: 回覆 3# mathguy 的帖子

利用：a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)
---------------------
m^3+(2n)^3+(-3)^3+18mn=0
=>(m+2n-3)[m^2+(2n)^2+(-3)^2-2mn+6n+3m)=0
=>m+2n=3
接著算幾...

作者: mathguy 時間: 2026-4-14 21:54 標題: 回覆 4# superlori 的帖子

感謝賜教，真妙

作者: Esther88 時間: 2026-4-17 09:44 標題: 鳳山115

請問各位高手~填充第6題有什麼算法?謝謝

作者: thepiano 時間: 2026-4-17 10:52 標題: 回覆 6# Esther88 的帖子

填充第 6 題
f(x) + 2f((x - 3)/(x + 1)) = x
x 用 (x - 3)/((x + 1) 代入，可得 f((x - 3)/(x + 1)) + 2f((- x - 3)/(x - 1)) = (x - 3)/(x + 1)
x 用 (- x - 3)/((x - 1) 代入，可得 f((- x - 3)/(x - 1)) + 2f(x) = (- x - 3)/(x - 1)
三個式子解聯立，可求出 f(x) = (x^3 - 6x^2 - 9x - 18)/(9x^2 - 9)

[ 本帖最後由 thepiano 於 2026-4-17 10:55 編輯 ]

作者: weiye 時間: 2026-4-17 10:55 標題: 回覆 6# Esther88 的帖子

填充第 6 題：

\(\displaystyle f\left(x\right) +2 f\left(\frac{x-3}{x+1}\right) = x\) ..... 第一式

令 \(\displaystyle t=\frac{x-3}{x+1}\)，則 \(\displaystyle x=\frac{t+3}{1-t}\)，代入第一式，

得 \(\displaystyle f\left(\frac{t+3}{1-t}\right) + 2 f\left(t\right) = \frac{t+3}{1-t}\)

即 \(\displaystyle f\left(\frac{x+3}{1-x}\right) + 2 f\left(x\right) = \frac{x+3}{1-x}\) ......第二式

將第一式中的自變數 \(x\) 以 \(\displaystyle \frac{x-3}{x+1}\) 代入，

得 \(\displaystyle f\left(\frac{x-3}{x+1}\right) + 2 f\left(\frac{3+x}{1-x}\right) = \frac{x-3}{x+1}\) ..... 第三式

由第一式\(\times1\) + 第二式\(\times4\) - 第三式\(\times2\)，得

\(\displaystyle 9 f\left(x\right) = x + 4 \cdot \frac{x+3}{1-x} - 2 \cdot \frac{x-3}{x+1}\)

\(\displaystyle \Rightarrow f\left(x\right) = \frac{1}{9}\left(x + 4 \cdot \frac{x+3}{1-x} - 2 \cdot \frac{x-3}{x+1}\right)\)

作者: Esther88 時間: 2026-4-18 14:53 標題: 回覆 8# weiye 的帖子

謝謝兩位老師的回覆！
想再請問，這種題目的數字是設計好的嗎?一定會這樣帶一帶之後就可以用加減消去法求出嗎?
謝謝

作者: Superconan 時間: 2026-5-9 21:11

學校有補充公告答案

weiye 補充：附加的答案檔案已移到首篇，方便網友們討論。

圖片附件: 鳳山高中115公告答案.png (2026-5-9 21:11, 140.66 KB) / 該附件被下載次數 223
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作者: ingibitor0606 時間: 2026-6-18 11:39 標題: 請問第4題解法?謝謝

作者: weiye 時間: 2026-6-18 15:29 標題: 回覆 11# ingibitor0606 的帖子

填充第4題：

設 \(\displaystyle A_k\left(x_k,y_k\right)\)，\(\displaystyle \overline{A_kF}=r_k\) 且 \(\displaystyle \angle A_kFA_0=\theta_k\)，則

\(\displaystyle \left\{\begin{matrix}x_k=3+r_k\cos\theta_k\\y_k=r_k\sin\theta_k\\\end{matrix}\right.\)，代入橢圓方程式：\(\displaystyle \frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{27}=1\)，

得 \(\displaystyle \frac{\left(3+r_k\cos\theta_k\right)^2}{36}+\frac{\left(r_k\sin\theta_k\right)^2}{27}=1\)

\(\displaystyle \Rightarrow3\left(3+r_k\cos\theta_k\right)^2+4\left(r_k\sin\theta_k\right)^2=108\)

\(\displaystyle \Rightarrow\left(3\cos^2\theta_k+4\sin^2\theta_k\right){r_k}^2+\left(18\cos\theta_k\right)r_k-81=0\)

\(\displaystyle \Rightarrow\left(4-\cos^2\theta_k\right){r_k}^2+\left(18\cos\theta_k\right)r_k-81=0 \)

利用十字交乘法： \(\displaystyle \underline{\begin{matrix}\left(2-\cos\theta_k\right)&9\\\left(2+\cos\theta_k\right)&-9\\\end{matrix}}\)

得 \(\displaystyle r_k=\frac{-9}{2-\cos\theta_k}\)（負不合）或 \(\displaystyle r_k=\frac{9}{2+\cos\theta_k}\)。

因此 \(\displaystyle x_k=3+r_k\cos\theta_k=3+\frac{9\cos\theta_k}{2+\cos\theta_k}\)，進而得

\(\displaystyle d_k=12-x_k=12-\left(3+\frac{9\cos\theta_k}{2+\cos\theta_k}\right)=\frac{18}{2+\cos\theta_k}\)。

故，

\(\displaystyle \sum_{k=1}^{11}{\frac{1}{d_k}}=\sum_{k=1}^{11}{\frac{2+\cos\theta_k}{18}}=\frac{2}{18}\times12+\frac{1}{18}\left(\cos0^{\circ}+\cos30^{\circ}+\cos60^{\circ}+\cdots+\cos330^{\circ}\right)=\frac{4}{3}\)。

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