標題:
115永春高中
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作者:
bugmens
時間:
2026-4-8 21:28
標題:
115永春高中
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作者:
bugmens
時間:
2026-4-8 21:29
一、填充題
1.
若級數\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{2n}{3^n}\)是收斂的，則其和為
。
2.
已知\(f(2^x)=6x\cdot\log_52+3\)，求\(f(5)+f(25)+f(125)+\dots+f(5^8)\)之值為
。
3.
設矩陣\(A=\begin{bmatrix}1&1&0\\0&1&1\\0&0&1\end{bmatrix}\)，試求\(A^{10}\)的所有元之和為
。
設\( A=\left[ \matrix{1&1&1\cr0&1&1\cr0&0&1} \right] \)，則\(A^{102}\)中各元總和為
(105桃園高中，
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2489&page=1#pid15143
)
(我的教甄準備之路 矩陣\(n\)次方，
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid14875
)
4.
設\(x,y\in\mathbb{R}\)，求\(f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2+(2x-y+1)^2}+\sqrt{(x-3)^2+(y-1)^2+(2x-y-5)^2}\)的最小值為
。
(我的教甄準備之路 兩根號的極值問題，
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid22174
)
5.
定義\([x]\)為小於或等於\(x\)的最大整數，則\(\displaystyle \left[\frac{1}{3}\right]+\left[\frac{2}{3}\right]+\left[\frac{2^2}{3}\right]+\left[\frac{2^3}{3}\right]+\dots+\left[\frac{2^{2026}}{3}\right]\)的個位數字為
。
求 \(\displaystyle \left[ {\frac{1}{3}} \right] + \left[ {\frac{2}{3}} \right] + \left[ {\frac{{{2^2}}}{3}} \right] + \cdots \left[ {\frac{{{2^{100}}}}{3}} \right] = \) 的值? 其中\(\left[ a \right]\)表示不超過\(a\)的最大整數
(2000TRML，連結有解答
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1042&page=1#pid11268
)
6.
一個袋子裡有4顆黑球，3顆白球，2顆紅球。今從袋中取出球，一次取一球且取後不放回，試求紅球先被取完的機率為
。
袋中有紅球4個,白球5個,黑球6個,每次由袋中取一球不放回,則紅球最先取完之機率?
(類似問題
https://math.pro/db/thread-536-1-1.html
)
7.
已知兩複數\(z_1,z_2\)滿足\(|z_1-(6+8i)|=3\)、\(|(1+i)z_2-2i|=\sqrt{2}\)，求\(|z_1-z_2|\)的最小值為
。
8.
已知\(ABCD\)為圓內接四邊形，其邊長分別為\(\overline{AB}=3\)、\(\overline{BC}=2\)、\(\overline{CD}=2\)、\(\overline{DA}=6\)，若向量\(\vec{AC}=\alpha\vec{AB}+\beta\vec{AD}\)，試求數對\((\alpha,\beta)\)為
。
9.
有一方程式\(x^4-8x^3+14x^2+kx+m=0\)，其四根成等差，若公差\(d>0\)，試求序對\((d,k,m)\)為
。
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2854&page=1#pid20488
10.
有10位選手進行單循環賽，每兩人恰比賽一場，無和局。比賽結束後，發現不存在三位選手甲、乙、丙使得甲贏乙、乙贏丙、丙贏甲。試求所有選手獲勝場數的平方和為
。
二、計算證明題
1.
設\(f(x)\)為實係數多項式，滿足\(f(0)=0\)且\(f(x^2+1)=(f(x))^2+1\)，求所有符合條件的\(f(x)\)。
2.
已知\(\triangle ABC\)的內切圓切三邊於\(D,E,F\)，且\(\triangle ABC\)的外接圓、內切圓之半徑分別為\(R,r\)。若\(\triangle ABC\)的面積為\(S\)，\(\triangle DEF\)的面積為\(T\)，證明\(\displaystyle \frac{T}{S}=\frac{r}{2R}\)。
3.
若有兩曲線\(\Gamma_1\)：\(\displaystyle y=e^{-x}\)及\(\Gamma_2\)：\(\displaystyle y=-e^{x+1}\)，試求：
(1)兩曲線的公切線\(L\)的方程式。
(2)直線\(L\)與\(\Gamma_1,\Gamma_2\)的切點座標。
(類似問題
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1561&page=1#pid7867
)
作者:
zj0209
時間:
2026-4-9 19:16
想請教一下計算1,謝謝！
作者:
darren217
時間:
2026-4-9 23:53
標題:
回覆 3# zj0209 的帖子
由\(f(x^2+1)=(f(x))^2+1\)
\(x=0\)代入，得\(f(1)=0^2+1=1\)
\(x=1\)代入，得\(f(2)=1^2+1=2\)
\(x=2\)代入，得\(f(5)=2^2+1=5\)
以此類推可得對於前面已知的\(f(k)=k\)代入
恆有\(f(k^2+1)=(f(k))^2+1=k^2+1\)
因此方程式\(f(x)-x=0\)有無限多解
由多項式恆等定理可知\(f(x)=x\)
[
本帖最後由 darren217 於 2026-4-9 23:55 編輯
]
作者:
zj0209
時間:
2026-4-10 07:04
謝謝darren217老師！
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