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標題: 115大安高工 [打印本頁]
作者: bugmens    時間: 2026-4-1 22:21     標題: 115大安高工

　

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作者: bugmens    時間: 2026-4-1 22:21

2.
坐標平面上，\(x\)坐標與 \(y\)坐標均為整數的點稱為格子點。令 \(n\) 為正整數，\(T_n\) 為平面上以直線 \(\displaystyle y = \frac{-1}{n}x + n\)，以及 \(x\) 軸、\(y\) 軸所圍成的三角形區域（包含邊界），而 \(a_n\) 為 \(T_n\) 上的格子點數目，則 \(a_n=\)?（以 \(n\) 表示）

3.
在人工智慧的分類技術中，用到以曲線來分類不同物件的概念。設平面上有七個點 \(A(-1,1)\)、\(B(-3,1)\)、\(C(2,3)\)、\(D(-1,2)\)、\(E(1,0)\)、\(F(1,-3)\)、\(G(3,5)\) 分屬 ●、▲ 兩類。已知其中 ● 類包含點 \(A, C, E, G\)，而 ▲ 類包含點 \(B, D, F\)。若欲使用曲線 \(\Gamma : y^2 = x^3 + tx^2 + 1\) 將這七個點「正確分類」（即某一類的所有點皆滿足 \(y^2 < x^3 + tx^2 + 1\)，另一類的所有點皆滿足 \(y^2 > x^3 + tx^2 + 1\)），則實數 \(t\) 的範圍為何？

在人工智慧的分類技術中，用到以直線分類不同物件的概念。設平面上有七個點\(A(1,3)\)、\(B(3,2)\)、\(C(-1,4)\)、\(D(-1,2)\)、\(E(1,-2)\)、\(F(-2,-1)\)、\(G(-3,2)\)分屬●、▲二類，其中直線\(L\)：\(3x＋4y-12＝0\)未能將它們正確分類，如圖(三)標示。
若將L平行移動至新的位置成為新直線\(L_1\)且能達到正確分類目的，則下列何者可為\(L_1\)的直線方程式？
(A)\(3x+4y+2=0\)(B)\(3x+4y-6=0\)(C)\(6x+8y+3=0\)(D)\(6x+8y-3=0\)。
(109統測數C)

4.
設銳角三角形\(ABC\)的外接圓半徑為8，已知外接圓圓心到\(\overline{AB}\)的距離為2，而到\(\overline{BC}\)的距離為7，則內切圓半徑為？

設銳角三角形\(ABC\)的外接圓半徑為8，已知外接圓圓心到\(\overline{AB}\)的距離為2，而到\( \overline{BC} \)的距離為7，則\( \overline{AC}= \)？
(102學測，)
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=709&page=4#pid12137

5.
已知 \(x, y, z\) 為實數，\(\displaystyle \begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 1 \\ x^2 + y^2 + z^2 = \frac{3}{2} \\ x^3 + y^3 + z^3 = 1 \end{cases}\)，\(x+y+z\) 為整數，求 \(x+y+z\) 的值？

6.
坐標空間中，考慮一個正四面體，其所有頂點的\(z\)坐標皆滿足 \(0 \le z \le 6\)。已知此正四面體至少有一個頂點在平面\(z=0\)上，且至少有一個頂點在平面\(z=6\)上，求此正四面體邊長的最大可能值？

8.
已知\(f(x)、g(x)、h(x)\)皆為實係數三次多項式，且除以\(x^2-x+2\)的餘式分別為\(2x+1\)、\(x-1\)、\(x+2\)。若\(x\cdot f(x)+a\cdot[g(x)]^2+b\cdot h(x)\)可以被\(x^2-x+2\)整除，其中\(a,b\)為實數，則數對\((a,b)=\)？

9.
設\(z\)為複數，在複數平面上，一個正八邊形依逆時針方向的連續三個頂點為\(z、0、z-1-\sqrt{2}-i\)（其中\(i=\sqrt{-1}\)），則\(z\)的實部為？

10.
在坐標平面上，在以\(O(0,0),A(0,2),B(2,2),C(2,0)\)為頂點的正方形(含邊界)內，令\(R\)為滿足下述條件的點\(P(x,y)\)所成區域：與點\(P(x,y)\)的距離為\(|x-y|\)之所有點所成圖形完全落在正方形\(OABC\)(含邊界)內。則區域\(R\)的面積為？

13.
已知\(\displaystyle z=\cos\frac{2}{7}\pi+i\sin\frac{2}{7}\pi\)，試問\(z+z^2+z^4\)的值為何？

14.
在\(\triangle ABC\)中，已知\(tanA,tanB,tanC\)皆為正整數，試問\(tanA+tanB+tanC\)的值為何？

15.
\(\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left(\frac{\sin^3x}{\sin^3x+\cos^3x}\right)dx=?\)

16.
實數\(a,b,c,d\)滿足\(\begin{cases}a^2+b^2=9\\c^2+d^2=16\\bc-ad=12\end{cases}\)，求\(bd\)的最大值？

17.
若多項式\((1+x+x^2+x^3)^{10}\)的展開式為\(1+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+\dots+a_{30}x^{30}\)，試求\(a_6=?\)
類似問題https://math.pro/db/viewthread.php?tid=680&page=3#pid9514

18.
今包含甲共\(k\)個人在練習傳球，並可自由地傳給另外一個人，倘若彼此一共傳球\(n\)次。球首先從甲手中傳出，若第\(n\)次最後傳回甲的手上，共有幾種不同的傳球方法？

20.
求\(a\neq0\)且滿足\(\displaystyle\lim_{x\to\infty}(\frac{4x+a}{4x-a})^{3x+1}=3\)，\(a=?\)

1.
坐標平面上，以\(\Gamma\)表示多項式函數\(y=x^3-6x^2+10x\)的圖形，且以\(L\)表示直線\(y=mx\)，其中\(m\)為實數。根據上述，試回答下列問題。
(1)當\(m=2\)時，試求出在\(x\ge0\)的範圍內，\(\Gamma\)與\(L\)的三個相異交點的\(x\)坐標。
(2)承(1)，試求\(\Gamma\)與\(L\)所圍有界區域面積的值。
(3)在\(x\ge0\)的範圍內，若\(\Gamma\)與\(L\)有三個相異交點，則滿足此條件的\(m\)之最大範圍為\(a<m<b\)，試求\(a、b\)之值。

2.
設\(f(x)\)為實係數多項式函數，且\(\displaystyle xf(x)=3x^4-2x^3+2x^2+\int_1^xf(t)dt\)對\(x\ge1\)恆成立。試回答下列問題。
(1)試求\(f(1)\)。
(2)試求\(f(x)\)。
(3)試證明恰有一個大於1的正實數\(a\)滿足\(\displaystyle\int_0^af(x)dx=1\)。

3.
學生在學習極限時，常發生以下作答算式：
\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}(\frac{1+2+3+\dots+n}{n^2})=\lim_{n\to\infty}(\frac{1}{n^2}+\frac{2}{n^2}+\frac{3}{n^2}+\dots+\frac{n}{n^2})\)
\(\displaystyle=\lim_{n\to\infty}(\frac{1}{n^2})+\lim_{n\to\infty}(\frac{2}{n^2})+\lim_{n\to\infty}(\frac{3}{n^2})+\dots+\lim_{n\to\infty}(\frac{n}{n^2})=0+0+0+\dots+0=0\)
請問：
(1)這算式問題核心出自於哪裡？
(2)如何以學生所學數學知識作出正確解釋？
(3)於是在作極限的教學時，應該要注意什麼？（4分）



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