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標題: 115大同高中 [打印本頁]
作者: kobelian    時間: 2026-3-30 12:31     標題: 115大同高中

大同高中

附件: [115大同高中第1次教師甄試【高中數學科】初選試題卷及參考答案(第二次修正版) ...] 115大同高中試題及答案(第二次修正版).pdf (2026-3-31 19:51, 409.64 KB) / 該附件被下載次數 616
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作者: kobelian    時間: 2026-3-30 15:01

修正版。

weiye 註：已用修正版檔案替換本文最首篇的附加檔案。
作者: bugmens    時間: 2026-3-30 16:34

一、填充題
3.
有一枚不均勻硬幣，正面機率為\(\displaystyle\frac{2}{3}\)，反面機率為\(\displaystyle\frac{1}{3}\)，若擲100次這枚不均勻硬幣，正面次數為偶數的機率為\(\displaystyle\frac{1+b^{100}}{a}\)，數對\((a,b)\)為。

4.
在複數平面上，複數\(z\)在第一象限，\(|z|=5\)且\(\displaystyle \left|\frac{-7}{5}+\frac{24}{5}i-z^3\right|=\left|\frac{-7}{5}+\frac{24}{5}i-z\right|\)，則複數\(z=\)。

在複數平面上，複數\(z\)在第一象限且滿足\(|z|=1\)以及\(\displaystyle \left|\frac{-3+4i}{5}-z^3\right|=\left|\frac{-3+4i}{5}-z\right|\)，其中\(i=\sqrt{-1}\)。若\(z\)的實部為\(a\)、虛部為\(b\)，則\(a=\)　　　、\(b=\)　　　。
(111分科測驗數學甲，https://www.google.com/search?q= ... chrome&ie=UTF-8)

5.
\(p\)為正整數，\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{1^p+2^p+\cdots+n^p}{n^{p+1}}=\)。
(我的教甄準備之路　黎曼和和夾擠定理，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid23615)

6.
圓周上10等分點，任意選取4個等分點圍成四邊形，每一點被選取機會均等，則所圍四邊形至少有一個角是直角的機率為\(\underline{\quad\quad\quad}\)。

7.
\([x]\)表示不大於\(x\)的最大整數，則\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^{[\sqrt{n}]}}=\)。

8.
平面上一點\(P\)到正\(\triangle ABC\)各頂點距離分別是3、5、7，此正\(\triangle ABC\)面積為。

二、計算題
2.
將地球儀設定成一個坐標空間，球心為原點\(O\)，地球儀上\(A\)，\(B\)兩個城市的坐標\(A(5,0,0),B(3,4,0)\)，求地球儀上點\(C\)使得三城市\(A\)、\(B\)、\(C\)任兩點在球面上的最短距離皆相等。
(類似問題，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=960&page=1#pid2178)

3.
設\([x]\)表示不大於\(x\)的最大整數，滿足\([x^3]=4x+3\)的實數\(x\)為。
(類似問題https://math.pro/db/viewthread.php?tid=709&page=4#pid15944)
作者: mojary    時間: 2026-3-31 16:08     標題: 請教填充4

這長度的感覺？怪怪的？
感謝。
作者: Superconan    時間: 2026-3-31 17:58



weiye 註：已用第二次修正版檔案替換本文最首篇的附加檔案。

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https://math.pro/db/attachment.php?aid=7847&k=411bf6dba4aa7e760d97c888bee84c6c&t=1779263044

作者: thepiano    時間: 2026-3-31 22:09     標題: 回覆 4# mojary 的帖子

第 4 題
題目有誤

等號左邊的長度最小值是 120，等號右邊的長度最大值小於 10，不可能相等

看來要修正第三次了

[ 本帖最後由 thepiano 於 2026-3-31 22:26 編輯 ]
作者: mojary    時間: 2026-4-2 11:11     標題: 回覆 6# thepiano 的帖子

謝謝鋼琴老師。
作者: zj0209    時間: 2026-4-6 20:27

想請教一下計算5,謝謝！
作者: weiye    時間: 2026-4-7 12:11

計算題 第5題：



如圖，令 \(\angle OAB=\theta\)，

在 \(\triangle OAB\) 中，因為 \(\overline{OA}=\overline{OB}\)，所以 \(\angle OBA = \angle OAB=\theta\)。

在 \(B\) 點，因為光的反射性質，所以 \(\angle OBC = \angle OBA = \theta\)。

在 \(\triangle OBC\) 中，因為 \(\overline{OB}=\overline{OC}\)，所以 \(\angle OCB = \angle OBC = \theta\)。

在 \(C\) 點，因為光的反射性質，所以 \(\angle OCP = \angle OCB = \theta\)。


在 \(\triangle PBC\) 中，因為 \(\angle BCP = \angle CBP = 2\theta\)，所以 \(\overline{PB}=\overline{PC}\)。

在 \(\triangle OPC\) 與 \(\triangle OPB\) 中，因為 SSS 全等，得 \(\angle OPC =\angle OPB\)

令 \(\angle OPC =\angle OPB = \alpha\)。

（全部設置好，如一開始的附圖。）

在 \(\triangle PBC\) 中，三角形的內角和為 \(4\theta +2\alpha = 180^\circ\Rightarrow \alpha = 90^\circ - 2\theta\)。

在 \(\triangle OPC\) 中，由正弦定理，得 \(\displaystyle \frac{\overline{OC}}{\overline{OP}}=\frac{\sin\alpha}{\sin\theta}\)

　　\(\Rightarrow \sin\alpha = 2\sin\theta\)

　　\(\Rightarrow \sin\left(90^\circ - 2\theta\right) = 2\sin\theta\)

　　\(\Rightarrow \cos 2\theta = 2\sin\theta\)

　　\(\Rightarrow 1-2\sin^2\theta = 2\sin\theta\)

　　\(\Rightarrow 2\sin^2\theta + 2\sin\theta-1=0\)

　　\(\displaystyle \Rightarrow \sin\theta = \frac{\sqrt{3}-1}{2}\)（另一根小於 \(-1\) ，不合）

　　\(\displaystyle \Rightarrow \cos\theta = \sqrt{1-\sin^2\theta} = \sqrt{\frac{\sqrt{3}}{2}}\)。


另一方面，

\(\angle AOP = \angle POC - \angle AOC = \left(3\theta +\alpha\right) - 4\theta = \alpha - \theta = 90^\circ - 3\theta\)。

因此，

\(\displaystyle \sin\angle AOP = \sin\left(90^\circ - 3\theta\right) = \cos 3\theta=4\cos^3\theta - 3\cos\theta = \cos\theta\left(4\cos^2\theta - 3\right)=\sqrt{\frac{\sqrt{3}}{2}}\left(2\sqrt{3}-3\right)=\sqrt{2\sqrt{3}}\left(\sqrt{3}-\frac{3}{2}\right)\) 。

圖片附件: qq5.png (2026-4-7 12:21, 31.56 KB) / 該附件被下載次數 181
https://math.pro/db/attachment.php?aid=7889&k=2a67a30d4b7b1af88711d0a06bf1d936&t=1779263044

作者: zj0209    時間: 2026-4-7 12:57

謝謝weiye老師的講解！
作者: Superconan    時間: 2026-4-18 18:48

計算第 1 題
題幹敘述被切成兩頁，我把它弄成同一頁方便閱讀，有需要的老師可以參考

附件: 大同高中115_試題.pdf (2026-4-18 18:48, 359.54 KB) / 該附件被下載次數 102
https://math.pro/db/attachment.php?aid=7925&k=643e4386aa4f5546c17532b472d0626b&t=1779263044



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