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標題: 115嘉科實中 [打印本頁]
作者: kobelian    時間: 2026-3-29 18:19     標題: 115嘉科實中

115嘉科實中

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https://math.pro/db/attachment.php?aid=7838&k=52d6e5521408c1018af6cc09b7d72ae1&t=1775140330
作者: bugmens    時間: 2026-3-29 19:53

一、填充題
1.
計算無窮級數\(\displaystyle \frac{1}{1\times2}+\frac{1}{1\times2+2\times 3}+\frac{1}{1\times2+2\times 3+3\times 4}+\ldots+\frac{1}{1\times2+2\times3+3\times 4+\ldots+n(n+1)}+\ldots\)之值為　　　。
(我的教甄準備之路　裂項相消，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid1678)

4.
已知實數\(a,b,c\)滿足下列條件：
\(\cases{\displaystyle
\frac{a}{2^2+3^2} + \frac{b}{2^2+5^2} + \frac{c}{2^2+7^2} = 1\cr
\frac{a}{4^2+3^2} + \frac{b}{4^2+5^2} + \frac{c}{4^2+7^2} = 1\cr
\frac{a}{6^2+3^2} + \frac{b}{6^2+5^2} + \frac{c}{6^2+7^2} = 1} \)
則\(a+b+c\)之值為　　　。
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2492&page=1#pid15192

7.
投擲一個公正骰子四次，試求投出的四個數的乘積為完全平方數的機率。

由\(1,2,3,\ldots,12\)十二個數字中隨機取出四個相異的數，每個數被取出的機會皆相等，令\(S\)表示此四數的乘積，求\(S\)為完全平方數的機率為　　　。
(114中二中，連結有解答https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3952&page=2#pid27603)

8.
已知在坐標平面上，滿足以下不等式\(|3x + 2y - 2| + |3x - 2y + 5| + |3x + 2y + 2| + |3x - 2y - 5| \le 14\)的點\((x, y)\)所成的圖形面積為　　　。
類似問題https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2264&page=3#pid13904

二、計算證明題
2.
設\(x,y,z\)為正實數且滿足\(x^2+y^2+z^2=3\)，試證明：\(\displaystyle \frac{x^3}{2+x}+\frac{y^3}{2+y}+\frac{z^3}{2+z}\ge 1\)。
作者: zj0209    時間: 2026-3-30 09:56

想請一下計算1！
作者: Ellipse    時間: 2026-3-30 10:49

引用:
原帖由 zj0209 於 2026-3-30 09:56 發表
想請一下計算1！
[ 本帖最後由 Ellipse 於 2026-3-30 10:52 編輯 ]
作者: Ellipse    時間: 2026-3-30 10:53

引用:
原帖由 kobelian 於 2026-3-29 18:19 發表
115嘉科實中
填1
一般項:  
Σ{ k=1 to n}  1/k(k+1)  =3/[n(n+1)(n+2)]
所求=limit {n->∞}  Σ{ t=1 to n}  3/[t(t+1)(t+2)]
=(3/2)*limit {n->∞} Σ{ t=1 to n}  [1/(t*(t+1)) -1/((t+1)(t+2))]
=(3/2)*(1/2)=3/4
作者: thepiano    時間: 2026-3-30 12:38     標題: 回覆 3# zj0209 的帖子

計算第 1 題
AB = c，BC = a，CA = b
在射線 CA 上取一點 D，使 AD = AP

由 Stewart 定理
PA * BC^2 + PB * CA^2 = AB * (CP^2 + PA * PB)
(3c/4) * [b + (c/2)]^2 + (c/4) * b^2 = c * [CP^2 + (3c/4) * (c/4)]
CP^2 = b * [b + (3c/4)] = CA * CD
CP / CD = CA / CP
△APC 和 △PDC 相似 (SAS)
∠CAP = 2∠CDP = 2∠CPA

[ 本帖最後由 thepiano 於 2026-3-30 12:40 編輯 ]
作者: zj0209    時間: 2026-3-30 14:18

我了解了，謝謝thepiano老師！
作者: zj0209    時間: 2026-3-30 14:19

我了解了，謝謝thepiano老師！
作者: Superconan    時間: 2026-3-30 22:30



圖片附件: 嘉科實中115答案修正.png (2026-3-30 22:30, 161.63 KB) / 該附件被下載次數 26
https://math.pro/db/attachment.php?aid=7843&k=24bd48d6ebf21b5ef4ef35b2ccd0fedf&t=1775140330

作者: lisa2lisa02    時間: 2026-4-1 18:15

想請教填充6，謝謝!
作者: thepiano    時間: 2026-4-1 20:12     標題: 回覆 10# lisa2lisa02 的帖子

填充第 6 題
四根 p、q、r、s
pqrs = 1，|p||q||r||s| = 1，由於四根都在單位圓內或圓上
故 |p| = |q| = |r| = |s| = 1

令 x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + 1 = (x^2 - 2(cosα)x + 1)(x^2 - 2(cosβ)x + 1)
a = c = -2(cosα + cosβ)
b = 4cosαcosβ + 2

a^2 + c^2 - 8b = 8(cosα - cosβ)^2 - 16
當 cosα = 1，cosβ = -1 時，有最大值 16

[ 本帖最後由 thepiano 於 2026-4-1 20:23 編輯 ]



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