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標題: 115師大附中 [打印本頁]

作者: weiye 時間: 2026-3-28 11:40 標題: 115師大附中

115師大附中（高中部）

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作者: bugmens 時間: 2026-3-28 16:34

A.
已知\(21!\)為20位數，計算其值等於\(51090942171709ab0000\)，其中\(a,b\in\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\)，則\((a,b)=\)　　　。

B.
遊戲公司宣稱某稀有卡片每次能抽取到的機率達\(2\%\)，\(A\)玩家不太認同，要進行合理性的檢定，選定幾何分布連續抽取到該稀有卡片為止，並決定顯著水準為0.01後，得到拒絕域為區間\([n,\infty)\)，其中\(n\)為自然數，則\(n=\)　　　。

C.
求\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac{n}{n^2+k^2}=\)　　　。

D.
平面上，\(O\)為原點，在\(\displaystyle\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1\)的兩條漸近線上分別取點\(A\)、\(B\)，使得\(\overline{OA}\times\overline{OB}=150\)。若\(P\)為\(\overline{AB}\)中點，且\(P\)點的軌跡方程式為\(\displaystyle\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=q及\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=r\)，則\(qr=\)　　　。

E.
設\(ABCD\)為正四面體，若\(P\)、\(Q\)、\(S\)、\(R\)分別為稜邊\(\overline{AB}\)、\(\overline{AC}\)、\(\overline{DB}\)、\(\overline{DC}\)上的分點，滿足\(\overline{AP}:\overline{PB}=\overline{AQ}:\overline{QC}=\overline{BS}:\overline{SD}=\overline{CR}:\overline{RD}=2:1\)，令四邊形\(PQRS\)與\(\triangle BCD\)所夾的兩面角為\(\theta\)，試求\(\cos\theta=\)　　　。

F.
設\(A(2,1,-2)\)、\(B(4,-1,-4)\)為空間兩點，原點\(O(0,0,0)\)與\(P(x,y,z)\)在平面\(E\)：\(2x+2y-z=0\)上且滿足\(\overline{OP}=1\)，試求\(\overline{PA}^2+\overline{PB}^2\)的最小值為　　　。

G.
設三角函數\(f(x)=sin^4x+cos^4x+sin^3x+cos^3x+sin^2x+cos^2x\)，令\(f(x)\)的最大值為\(M\)，最小值為\(m\)，試求\(M-m=\)　　　。

H.
令\(m\)、\(n\)為正整數，且\(m\)、\(n\)滿足\(\displaystyle\frac{m+n}{1+mn}=\frac{1}{64}\)，試求\(\log_{\sqrt{2}}(m+n)\)之最小值為　　　。

I.
一個半圓裡有個四邊形\(ABCD\)，其中\(\overline{AB}\)為直徑，且\(\overline{BC}=2\)，\(\overline{CD}=9\)，\(\overline{AD}=12\)，求\(\overline{AB}\)的長度為　　　。

\( \overline{P_0P_3} \)為半圓之直徑，\( P_1 \)、\( P_2 \)為半圓周上兩點。令\( a=\overline{P_0P_1} \)、\( b=\overline{P_1P_2} \)、\( c=\overline{P_2P_3} \)、\( d=\overline{P_0P_3} \)。試證d為方程式\( x^3-(a^2+b^2+c^2)x-2abc=0 \)之一根。
(81大學聯考　自然組)
類似問題https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1655&page=2#pid8874

J.
如圖，\(I\)為\(\triangle ABC\)之內心，\(\overline{IQ}//\overline{AB}\)，\(\overline{IP}//\overline{AC}\)，若\(\overline{AB}=6\)，\(\overline{AC}=12\)，\(\overline{BC}=9\)，試求\(\vec{AP}\cdot\vec{AQ}=\)　　　。

K.
在\(3\times3\)方格紙的9個小格中心隨機選取4個分別標記一個記號◯。考慮任一小格，若其緊鄰的小格（不含自己）恰有2格被標記，則得一分，累計9小格的總得分數為隨機變數\(X\)，例：如圖，左下、中、上、右四小格各得1分，此時\(X=4\)。試求\(E(X)=\)　　　。
▭▭◯
◯◯▭
▭◯▭

L.
空間坐標系中，欲從點\(A(3,0,0)\)走捷徑前往點\(B(0,3,3)\)，每次都只能沿著平行\(x\)軸、\(y\)軸或\(z\)軸的方向移動一個單位。試問在不觸及平面\(E\)：\(2x+2y+z=4\)的條件下，一共有　　　種走法。

M.
平面座標上有三個圓\(C_1\)：\((x+5)^2+y^2=16\)、\(C_2\)：\((x-5)^2+y^2=4\)、\(C_3\)：\((x-29)^2+(y-24)^2=4\)，試問同時與此三個圓外切的圓心座標為　　　。

半徑為1cm、2cm、3cm的三個圓互相外切，如圖所示。有一個圓落於它們之間，分別與這三個外切，求這個小圓的半徑。
(98國立清水高中，連結有解答https://math.pro/db/viewthread.php?tid=836&page=1#pid1604)

N.
已知兩三次函數\(f(x)=x^3-x\)與\(g(x)=(x-1)^3-(x-1)+2\)的圖形有三條公切線，其中兩條公切線方程式分別為\(y=ax+b\)、\(y=ax+c\)，求\(abc=\)　　　。
(相關題目https://math.pro/db/viewthread.php?tid=709&page=5#pid28128)

O.
圓\(\Gamma_1\)是\(\triangle ABC\)的外接圓，\(\overline{AB}=8\)、\(\overline{BC}=7\)、\(\overline{CA}=6\)，\(D\)為直線\(BC\)上一點，滿足直線\(AD\)與圓\(\Gamma_1\)相切於\(A\)點，圓\(\Gamma_2\)通過\(A\)、\(D\)兩點，且和直線\(BD\)相切於\(D\)點，圓\(\Gamma_1\)、圓\(\Gamma_2\)交於\(A\)、\(E\)兩點，則\(\displaystyle\frac{\overline{EB}}{\overline{EC}}=\)　　　。

P.
數列\(\langle a_n \rangle\)滿足\(a_0=1\)，\(\displaystyle a_{n+1}=\frac{7a_n+\sqrt{45a_n^2 - 36}}{2}\)，\(\forall n \in \mathbb{N}\)，且\(\langle F_n \rangle\)為費波納契數列，滿足\(F_1=F_2=1\)，若\(F_{2025}\)恰為\(\langle a_n \rangle\)的第\(m\)項，則\(m=\)　　　。

Q.
某學生解一道題目「已知\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\frac{a_n}{3n+2}=5\)，求\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\frac{4n-a_n}{2a_n+3}\)。」解法如下：
\(\bbox[border:1px solid black]{因為\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{3n+2}=5，所以a_n=5(3n+2)=15n+10，
故所求\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{4n-a_n}{2a_n+3}=\lim_{n \to \infty} \frac{4n-(15n+10)}{2(15n+10)+3}=\lim_{n \to \infty} \frac{-11n-10}{30n+23}=\lim_{n \to \infty} \frac{-11-\frac{10}{n}}{30+\frac{23}{n}}=\frac{-11-0}{30+0}=\frac{-11}{30}。}\)
問該學生解法過程有無錯誤？若有，請指出錯誤與如何對學生說明，並給出正確解法。若無，請給出另一種做法。

R.
在翰林版課本第二冊數列級數的單元中提到，一個圓上有\(n\)個點互相連成線段之後，將圓的內部分割成最多\(a_n\)個區域；
某生在觀察前五項的規律之後，推測一般式\(a_n=2^{n-1}\)，試問此結果正確還是錯誤？若正確請證明；若錯誤，請找出正確的一般式，並解釋之。
(我的教甄準備之路　尋找圖形的規律，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid5274)

作者: Ellipse 時間: 2026-3-28 21:36

引用:

原帖由 weiye 於 2026-3-28 11:40 發表
115師大附中（高中部）

提供填充N參考圖

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作者: itoko1279 時間: 2026-3-28 22:13

想問第E題手算跟用AI跑都是5/根號33
答案不是這個
謝謝!

作者: thepiano 時間: 2026-3-29 07:47 標題: 回覆 4# itoko1279 的帖子

算出的答案與您一樣，官方的答案應是給錯了

作者: Gary 時間: 2026-3-30 12:07 標題: 回覆 4# itoko1279 的帖子

我想問為什麼不用加正負

作者: thepiano 時間: 2026-3-30 12:44 標題: 回覆 6# Gary 的帖子

加上正負才是

作者: itoko1279 時間: 2026-3-30 13:12

兩面角是指兩半平面的夾角，應該唯一吧
是兩平面夾角才有兩個

作者: Superconan 時間: 2026-3-30 15:12

圖片附件: 115師大附中_試題疑義說明.png (2026-3-30 15:12, 166.66 KB) / 該附件被下載次數 272
https://math.pro/db/attachment.php?aid=7841&k=7f26696c84cff8d1ca786df5a5daee74&t=1779258854

作者: Gary 時間: 2026-3-30 17:11

請問O要怎麼寫謝謝老師

作者: Gary 時間: 2026-3-30 17:25

想問P有沒有更好的方法
我只會一個一個列找規律

作者: thepiano 時間: 2026-3-30 21:42 標題: 回覆 10# Gary 的帖子

第 O 題
請自行畫圖
△DAC 和 △DBA 相似 (AA 相似)
DA / DB = AC / BA = 3 / 4
令 DA = 3x，DB = 4x，DC = 4x - 7
(3x)^2 = 4x(4x - 7)
x = 4
DC = 9

設直線 AE 和 BD 交於 F
FC * FB = FE * FA = FD^2
令 FC = y
y(y + 7) = (9 - y)^2
y = 81/25
FC = 81/25，FB = 256/25

A、B、C、E 四點共圓
△FBE 和 △FAC 相似 (AA 相似)
EB / CA = FB / FA
△FEC 和 △FBA 相似 (AA 相似)
EC / BA = FC / FA

EB / EC = (CA * FB) / (BA * FC) = (6 * 256/25) / (8 * 81/25) = 64/27

作者: peter0210 時間: 2026-3-31 15:24

P.

圖片附件: P..png (2026-3-31 15:24, 22.58 KB) / 該附件被下載次數 151
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作者: acolytej 時間: 2026-4-6 18:00

想問填充 K. 謝謝

作者: thepiano 時間: 2026-4-6 19:34 標題: 回覆 14# acolytej 的帖子

填充第 K 題
(1) 中心格：相鄰 4 格選 2 格標記，其餘 5 格選 2 格標記，可得 C(4，2) * C(5，2) = 60 分
(2) 角落格：相鄰 2 格都標記，其餘 7 格選 2 格標記，可得 4 * C(7，2) = 84 分
(3) 邊格：相鄰 3 格選 2 格標記，其餘 6 格選 2 格標記，可得 4 * C(3，2) * C(6，2) = 180 分

所求 = (60 + 84 + 180) / C(9，4) = 18/7

[ 本帖最後由 thepiano 於 2026-4-6 19:54 編輯 ]

作者: bbr49253040 時間: 2026-5-19 17:19

請問填充L要如何算，謝謝老師

作者: thepiano 時間: 2026-5-20 08:08 標題: 回覆 16# bbr49253040 的帖子

填充 L 的圖
這題在考場，直接跳過

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