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標題: 115台南一中 [打印本頁]

作者: kobelian 時間: 2026-3-22 14:43 標題: 115台南一中

台南一中

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作者: bugmens 時間: 2026-3-22 15:46

一、填充題
1.
實數\(x\)、\(y\)滿足\(x^2+y^2=25\)，則\(\sqrt{6x+8y+50}+\sqrt{-6x+8y+50}\)的最大值為　　　。
(我的教甄準備之路　兩根號的極值問題，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid22174)

2.
設\(\Delta ABC\)的三邊長為\(a\)，\(b\)，\(c\)，且\(a\)，\(b\)，\(c\)為方程式\(x^3-3\sqrt{5}x^2+14x-4\sqrt{5}=0\)的三根，求\(\Delta ABC\)的面積。
(我的教甄準備之路三角形的面積，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid2779)

5.
設四面體六條稜長分別為3、2、2、2、2、2，則此四面體外接球半徑為　　　。

6.
求橢圓\(\Gamma\)：\(\displaystyle \frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{3}=1\)的外切矩形最大面積為\(M\)，最小面積為\(m\)，求\((M,m)=\)　　　。

設橢圓\(\Gamma\)：\(\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)\)，則其外切矩形面積\(A\)之範圍為何？
(100松山家商，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1161&page=1#pid3801)
https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1357467832.A.728.html

7.
一袋中有10顆黑球，開始時隨機由袋中取2顆球，再放入2顆白球，如此稱為一次操作，今操作4次，求袋中白球個數的期望值？

作者: Ellipse 時間: 2026-3-22 16:11

引用:

原帖由 kobelian 於 2026-3-22 14:43 發表
台南一中

計算3:
在△ABC中,可知tan(A/2)*tan(B/2)+tan(B/2)*tan(C/2)+tan(C/2)*tan(A/2)=1
令x=tan(A/2),y=tan(B/2),z=tan(C/2)
代入3(x+1/x)=4(y+1/y)=5(z+1/z)
可知6/sin(A)=8/sin(B)=10/sin(C)
即△ABC三邊長為3:4:5
sin(B)=4/5 = 2y/(1+y²) ,解出y=1/2 (2不合)

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2026-3-22 16:16 編輯 ]

作者: Superconan 時間: 2026-3-22 16:55

學校官方試題檔案
第1頁是掃描檔沒有標題，第2頁是電子檔

我將第1頁加了標題並把邊緣去除乾淨，有需要的老師可以參考

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作者: peter0210 時間: 2026-3-23 12:22

8.

[ 本帖最後由 peter0210 於 2026-3-23 14:58 編輯 ]

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作者: peter0210 時間: 2026-3-23 14:53

7.

[ 本帖最後由 peter0210 於 2026-3-23 14:56 編輯 ]

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作者: peter0210 時間: 2026-3-24 10:27

請教第10題的下限還有甚麼好的做法？

圖片附件: 10..png (2026-3-24 10:27, 15.59 KB) / 該附件被下載次數 255
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作者: thepiano 時間: 2026-3-24 13:39 標題: 回覆 7# peter0210 的帖子

第 10 題
可利用
0 < k < 231
115 + (k / 231) < √(115^2 + k) < 115 + (k / 230)

[ 本帖最後由 thepiano 於 2026-3-24 13:50 編輯 ]

作者: Bufi 時間: 2026-3-26 14:42

寫了詳解供大家參考

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作者: Bufi 時間: 2026-3-26 15:33

寫了詳解供大家參考

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作者: 夜神月 時間: 2026-4-9 00:53 標題: 7

E(x1+……+x10)=10E(x1)=10*[1-(4/5)^4]=738/125

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