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標題: 115高雄中學 [打印本頁]

作者: MAJIADI 時間: 2026-3-21 21:46 標題: 115高雄中學

115高雄中學

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作者: bugmens 時間: 2026-3-21 22:56

1.
三平面\(\cases{a_1x+b_1y+c_1z=d_1\cr a_2x+b_2y+c_2z=d_2 \cr a_3x+b_3y+c_3z=d_3}\)，令\(\Delta=\left| \matrix{a_1&b_1&c_1\cr a_2&b_2&c_2\cr a_3&b_3&c_3}\right|=0\)，且\(\Delta_x=\left| \matrix{d_1&b_1&c_1\cr d_2&b_2&c_2\cr d_3&b_3&c_3}\right|\)、\(\Delta_y=\left| \matrix{a_1&d_1&c_1\cr a_2&d_2&c_2\cr a_3&d_3&c_3}\right|\)、\(\Delta_z=\left| \matrix{a_1&b_1&d_1\cr a_2&b_2&d_2\cr a_3&b_3&d_3}\right|\)。
試證：若方程組之幾何意義為「三平面兩兩相交於一直線，且三直線互相平行」，則\(\Delta=0\)且\(\Delta_x\)、\(\Delta_y\)、\(\Delta_z\)至少有一不為0。
相關題目，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1116&page=3#pid4748

2.
針對本題：「\(f(x)\)是一個多項式函數，\(deg\) \(f(x)=1\)，\(1\le f(1)\le 4\)，\(-2\le f(2)\le 7\)，求\(f(3)\)之範圍」。
請用兩種不同解法，求出本題的正確答案。
相關題目，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1422&page=1#pid6438

11.
求出所有的正整數\(n\)，使得\(26+\sqrt{2026-n}\)是一個完全平方數。

15.
設\(a,b,c,d\)為正實數且滿足\(abcd=1\)。
試證明：\(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2}\ge \sqrt{a+b}+\sqrt{c+d}\)

作者: Ellipse 時間: 2026-3-22 14:46

引用:

原帖由 MAJIADI 於 2026-3-21 21:46 發表
115高雄中學

填充14:
題目出OABC為平行四邊形就好,不用嚴格到條件是OABC為矩形

作者: mathguy 時間: 2026-3-22 20:58 標題: 提供第九，14題解法供參考

如圖

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https://math.pro/db/attachment.php?aid=7806&k=03782468ec09076b710391ab8e8eb701&t=1774425650

圖片附件: 3.jpeg (2026-3-25 10:52, 935.93 KB) / 該附件被下載次數 20
https://math.pro/db/attachment.php?aid=7807&k=095bf7c2bc8beb488c78227dc7be7272&t=1774425650

作者: mathguy 時間: 2026-3-24 08:53 標題: 求教第八題，

圍一圈，沒有相鄰為反面機率？

作者: weiye 時間: 2026-3-24 11:21 標題: 回覆 5# mathguy 的帖子

第 8 題：

假設這 \(8\) 位學生繞一圈的座號依序為 \(1, 2, 3, \cdots, 8\) ，

先研究一下這 \(8\) 位同學共擲出 \(k\) 個反面且 \(8-k\) 個正面且任兩反面都不相鄰的方法數（其中 \(1\leq k\leq 4\)），

情況ㄅ：若座號 \(1\) 號的同學擲出反面，則

　　他左右兩側的第 \(2\) 號與第 \(8\) 號同學必然沒有擲出反面，

　　剩下第 \(3\) 號至第 \(7\) 號同學要分配 \(k-1\) 個反面與 \(6-k\) 個正面，

　　利用插空隙法，可得反面的排列方法數為 \(C(7-k, k-1)\) 種。

情況ㄆ：若座號 \(1\) 號的同學擲出正面，則

　　剩下第 \(2\) 號至第 \(8\) 號同學要分配 \(k\) 個反面與 \(7-k\) 個正面，

　　利用插空隙法，可得反面的排列方法數為 \(C(8-k, k)\) 種。

由情況ㄅ與ㄆ，得正反面的排列方法數為 \(C(7-k,k-1) + C(8-k,k)\) 。

因為八位學生同時丟擲硬幣，「沒有任相鄰二人皆擲出反面」時，

反面數只有可能為 \(0, 1, 2, 3,\) 或 \(4\)，

得沒有任兩人擲出反面的方法數為 \(\displaystyle 1+\left(C(6,0)+C(7,1)\right)+\left(C(5,1)+C(6,2)\right)+\left(C(4,2)+C(5,3)\right)+\left(C(3,3)+C(4,4)\right)=47\)。

故，所求機率 \(\displaystyle =\frac{47}{2^8}=\frac{47}{256}\)

［另解］

設 \(n\) 位學生繞一圈的座號依序為 \(1, 2, 3, \cdots, n\) 且此 \(n\) 位同學丟擲出沒有任何兩相鄰反面的方法數為 \(L_n\)，

則 \(a_1 = 1, a_2 = 3\)，

當 \(n>2\) 時，

情況ㄅ：若座號 \(1\) 號的同學擲出正面，則他的左右可能是（正, 正）、（正, 反）、（正, 反）、（反, 反）

情況ㄆ：若座號 \(1\) 號的同學擲出反面，則他的左右只能是（正, 正）

若扣除掉座號 \(1\) 號的同學後，得情況ㄅ的前三種（正, 正）、（正, 反）、（正, 反）對應的排列方法數和為 \(L_{n-1}\)。

若扣除掉座號 \(1\) 號的同學後，且「把情況ㄅ的最後一種情況（反, 反）視為只有一個反面，把情況ㄆ的（正, 正）也視為只有一個正面」，

　　得此兩種對應的排列方法數和為 \(L_{n-2}\)。

因此 \(L_n = L_{n-1}+L_{n-2}\)，

得 \(L_3 = 3+1=4, L_4 = 4+3=7, L_5=7+4=11, L_6=11+7=18, L_7=18+11=29, L_8=29+18=47\) 。

故，所求機率 \(\displaystyle =\frac{47}{2^8}=\frac{47}{256}\)

註：此數列為盧卡斯數列 https://zh.wikipedia.org/zh-tw/% ... 1%E6%96%AF%E6%95%B8

作者: peter0210 時間: 2026-3-24 11:29

8.

圖片附件: 8..png (2026-3-24 11:29, 40.67 KB) / 該附件被下載次數 7
https://math.pro/db/attachment.php?aid=7815&k=979a398f2b46a18bbf407db702d50793&t=1774425650

作者: mathguy 時間: 2026-3-25 06:48 標題: 回覆 6# weiye 的帖子

非常感謝瑋岳兄

作者: mathguy 時間: 2026-3-25 06:48 標題: 回覆 7# peter0210 的帖子

非常感謝Peter兄

作者: mathguy 時間: 2026-3-25 08:41 標題: 回覆 6# weiye 的帖子

盧卡斯數列非常美妙，記得您以前就提過很多次了，我偷懶沒有好好看清楚，這次趁機會好好研讀，非常有收穫，謝謝瑋岳兄。花了好一陣子才知道你在說什麼？

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