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標題: 115興大附中 [打印本頁]

作者: kobelian 時間: 2026-3-15 12:41 標題: 115興大附中

115興大附中

附件: 115__興大附中第1次正式教師甄試_數學科試題卷.pdf (2026-3-15 12:41, 477.37 KB) / 該附件被下載次數 446
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作者: bugmens 時間: 2026-3-15 18:45

1.
設\(z\)為複數且\(|\;z|\;=1\)，求\(|\;z^2+2z-2|\;\)的最大值=　　　。

若\( z \in C \)，\( |\; z |\;=1 \)，則\( |\; z^2-z+2 |\; \)的最小值為？
(100南港高工，連結有解答https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1143&page=1#pid3600)

2.
已知多項式\(f(x)=(x^2+x+1)^5\)展開後為\(a_{10}x^{10}+a_9x^9+a_8x^8+\ldots+a_1x^1+a_0\)。則\(11a_{10}+10a_9+9a_8+\ldots+2a_1+a_0\)的值為　　　。

3.
\(\triangle ABC\)中，已知\(\vec{AB}\cdot \vec{AC}=54\)，\(\vec{BA}\cdot \vec{BC}=10\)，\(\vec{CA}\cdot \vec{CB}=90\)，則\(\triangle ABC\)的面積為　　　。

4.
求滿足方程式\(\sqrt{x^2+x+1}+\sqrt{2x^2+x+5}=\sqrt{x^2-3x+13}\)的正實數\(x=\)　　　。

6.
如右圖所示，二直線\(L_1\)：\(x+3y=k_1\)與\(L_2\)：\(2x+y=k_2\)相交於\(A\)點。在\(L_1\)上一點\(P_1\)向左走60單位到\(L_2\)上的\(P_2\)點；再從\(P_2\)向上走到\(L_1\)的\(P_3\)點，再從\(P_3\)向左走到\(L_2\)上的\(P_4\)點；依此規則持續走下去，在\(L_1\)上得到\(P_1\)，\(P_3\)，\(P_5\)，\(\ldots\)，在\(L_2\)上得\(P_2\)，\(P_4\)，\(P_6\)，\(\ldots\)，則\(\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\overline{P_k P_{k+1}}=\)　　　。

9.
\(\triangle ABC\)中，已知\(\overline{BC}=6\)，且\(\overline{AB}=2\overline{AC}\)，當\(\triangle ABC\)面積有最大值時，則\(cosA=\)　　　。

10.
有一底面半徑為3 公分且密度不均勻的圓柱體，傾斜漂浮在靜止的水平面上，水面剛好通過底面直徑且與底面成\(45^{\circ}\)角，示意圖如右。
求此圓柱體在水面下的立體體積為　　　立方公分。(圓周率\(=\pi\))
(相關題目，連結有解答https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1369&page=1#pid5678)

一、
設\(a\)、\(b\)、\(c\)為正實數，且滿足\(a+b+c=4\)，試求\(\displaystyle (a+\frac{1}{a})^2+(b+\frac{1}{b})^2+(c+\frac{1}{c})^2\)的最小值。

\(a,b,c\)為正實數，且\(a+b+c=1\)，求\(\displaystyle \left(a+\frac{1}{a}\right)^2+\left(b+\frac{1}{b}\right)^2+\left(c+\frac{1}{c}\right)^2\)之最小值
(新高中數學101 P357)
(我的教甄準備之路　\(a+b=1\)求極值，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=1#pid1079)

四、
設對所有的正數\(x\)，\(f(x)\)滿足\(f(3x)=3f(x)\)，且函數\(f(x)\)在\(1\le x\le 3\)時滿足\(f(x)=1-|\;x-2|\;\)，則
(1)求\(f(2026)\)之值？
(2)求滿足\(f(x)=f(2026)\)的最小正整數\(x=\)？

A certain function \(f\) has the properties that \(f(3x)=3f(x)\) for all positive real values of \(x\), and that \(f(x)=1-|\;x-2|\;\) for \(1\le x \le 3\). Find the smallest \(x\) for which \(f(x)=f(2001)\).
(2001AIMEⅡ，連結有解答https://artofproblemsolving.com/ ... _Problems/Problem_8)

設函數\(f(x)\)在\(1\le x\le 3\)時，滿足\(f(x)=1-|\;x-2|\;\)，且對所有的正數\(x\)，\(f(x)\)滿足\(f(3x)=3f(x)\)。試求最小的正數\(x\)使得\(f(x)=f(2011)\)。
(100高中數學能力競賽　第二區(新店高中)筆試一試題，連結有解答https://math.pro/db/thread-1349-1-1.html)

作者: vln0106 時間: 2026-3-15 22:14 標題: 回覆 1# kobelian 的帖子

想問填充1 ，４　計算２
感謝各位老師

作者: Jimmy92888 時間: 2026-3-16 07:32 標題: 回覆 3# vln0106 的帖子

填充1
令\(z=\cos\theta+i\sin\theta\)
因為\(|z|=1\)，所以\(\frac{1}{z}=\overline{z}\)
化簡，得\(|z^2+2z-2|=|z\cdot(z+2-\frac{2}{z})|=|z|\cdot |z+2-2\overline{z}|=(2-\cos\theta)+3i\sin\theta|\)
所以\(|z^2+2z-2|=\sqrt{(2-\cos\theta)^2+(3\sin\theta)^2}\)就可以求最小值

[ 本帖最後由 Jimmy92888 於 2026-3-16 08:08 編輯 ]

作者: Jimmy92888 時間: 2026-3-16 07:49 標題: 回覆 3# vln0106 的帖子

填充4
簡單的做是兩邊平方兩次，化簡成4次式做因式分解。
下面是比較取巧的方法
令\(A=x^2+x+1\)，\(B=2x^2+x+5\)，\(C=x^3-3x+13\)
因為\(C=4B-7A\)，所以原題即\(\sqrt{A}+\sqrt{B}=\sqrt{4B-7A}\)
同樣兩次平方化簡後，得\(64A^2-52AB+9B^2=0\)
因式分解，得\(64A^2-52AB+9B^2=(16A-9B)(4A-B)\)
(1)\(16A-9B=-2x^2+7x-29=0\)無實數解
(2)\(4A-B=2x^2+3x-1=0\)的根為\(\frac{-3\pm\sqrt{17}}{4}\)
故所求的正實根為\(\frac{-3+\sqrt{17}}{4}\)

[ 本帖最後由 Jimmy92888 於 2026-3-16 07:55 編輯 ]

作者: thepiano 時間: 2026-3-16 11:52 標題: 回覆 3# vln0106 的帖子

計算第二題
E(Y)：當天有車到第一次達成連續兩天無車，還需要的期望天數(當天不計)
E(N)：當天無車到第一次達成連續兩天無車，還需要的期望天數(當天不計)

E(Y) = (3/4)[1 + E(Y)] + (1/4)[1 + E(N)]
E(N) = (1/2)[1 + E(Y)] + (1/2) * 1
可解出 E(Y) = 10

E(Y) = (X + 1) - 1 = X
X = 10

[ 本帖最後由 thepiano 於 2026-3-16 11:54 編輯 ]

作者: yymath 時間: 2026-3-18 01:52

我寫了詳解，大家參考看看

https://yinyumath.blogspot.com/2026/03/115-1_15.html

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