Math Pro 數學補給站

標題: 115台中一中 [打印本頁]

作者: kobelian 時間: 2026-3-7 09:58 標題: 115台中一中

115台中一中

附件: [115台中一中，試題] 115台中一中題目.pdf (2026-5-14 20:30, 544.25 KB) / 該附件被下載次數 1559
https://math.pro/db/attachment.php?aid=7767&k=79b74dfc8238fb6238828e1dc7426e07&t=1783570569

附件: [115台中一中，答案] 115台中一中答案.pdf (2026-5-14 20:30, 398.06 KB) / 該附件被下載次數 1323
https://math.pro/db/attachment.php?aid=7768&k=78e4a2c83a3bb734e03e2a773d1c5c24&t=1783570569

作者: bugmens 時間: 2026-3-7 10:16

一、填充題甲
1.
設\(a\)、\(b\)、\(c\)皆為正整數，且\(a<b<c\)，已知\(a+b+c+ab+ca=376\)，則序對\((a,b,c)=\)　　　。

2.
已知甲、乙、丙、丁、...共16人任意平分成4組，每組4人，則甲、乙同組且丙、丁不同組的機率為　　　。

3.
已知\([x]\)表示不大於\(x\)的最大整數,若\(\displaystyle\sum_{n=1}^{2026}\frac{1}{2^{[\sqrt{n}]}}=a-\frac{b}{2^{42}}\)，其中\(a\)為一位數正整數，\(b\)為二位數正整數，則\(a+b=\)　　　。

4.
試求極限值\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\sum_{k=n+1}^{2n}\frac{\sqrt{3n^2-k^2+2nk}}{n^2}\)的值為　　　。
(我的教甄準備之路　黎曼和和夾擠定理，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid23615)

二、填充題乙
5.
已知\(y=f(x)=2^{x}\)的反函數為\(y=g(x)\)，將\(y=g(x)\)對\(y\)軸對稱後為\(y=h(x)\)，再將\(y=h(x)\)對\(x+y=0\)對稱後為\(y=k(x)\)。直線\(y=-x+11\)分別和\(y=f(x)\)、\(y=g(x)\)交於點\(A(3,8)\)、點\(B\)；直線\(y=x+11\)分別和\(y=h(x)\)、\(y=k(x)\)交於點\(C\)、點\(D\)，則四邊形\(ABCD\)的面積為　　　。

6.
設\(\cases{a_{n+1}=\alpha a_n+\beta b_n\cr b_{n+1}=\gamma a_n+\delta b_n}\)，且矩陣\(A\)滿足\(\left[ \matrix{a_{n+1}\cr b_{n+1}}\right]=A\left[\matrix{a_n\cr b_n} \right],\forall n\in \mathbb{N}\)。已知矩陣\(A\)為不可逆的轉移矩陣，且\(\left[\matrix{a_5\cr b_5}\right]=\left[\matrix{\displaystyle \frac{2}{3}\cr \frac{4}{3}}\right]\)，則矩陣\(A=\)　　　。

7.
平面上有\(\triangle ABC\)，其中點\(A(1,5)\)、點\(B(7,2)\)，且\(\triangle ABC\)的面積為\(15\)。設\(P\)為圓\(x^2+y^2+14x+12y+80=0\)上一點，則當\(\overline{PC}\)長為最小時，\(C\)點坐標為　　　。

8.
已知\(P\)點到直線\(L_1\)：\(\displaystyle x+4=\frac{y-11}{7}=\frac{z-7}{2}\)與直線\(L_2\)：\(\begin{cases}x-z=7\\y=3\end{cases}\)的投影點分別為\(A(-5,a,b)\)與\(B(c,d,0)\)，且\(\overline{PA}=\overline{PB}\)，則\(P\)點坐標為　　　。

9.
平面上有一個中心為\(O\)點，\(F_1\)、\(F_2\)為兩焦點的橢圓\(\Gamma_1\)，且\(A\)點為其短軸上其中一個頂點。另有一個以\(O\)點為焦點，\(A\)點為頂點，且過點\(F_1\)、\(F_2\)的拋物線\(\Gamma_2\)。已知\(\Gamma_1\)與\(\Gamma_2\)有\(P\)、\(Q\)、\(A\)三個交點,則\(\displaystyle\frac{\overline{OP}}{\overline{OA}}=\)　　　。

10.
在數列\(\{\;a_n \}\;\)中，已知首項\(\displaystyle a_1=\frac{5}{2}\)，且遞迴關係式\(2a_n-a_{n-1}=4n+2\)(其中\(n\ge2\))，求此數列的一般項\(a_n\)為　　　。
(我的教甄準備之路　求數列一般項，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid9507)

11.
設\(f(x)\)為一實係數三次多項式。已知\(f(x)\)除以\((x-2)^2\)的餘式為\(12x-20\)；且\(f(x)\)除以\((x-4)^2\)的餘式為\(12x-36\)。若\(y=f(x)\)的對稱中心為\((h,f(h))\)，則\(x\cdot f(x)\)除以\((x-h)(x-2)(x-4)\)的餘式為　　　。

12.
用12根鋼條架構出一個正立方體的裝置藝術，今將其斜立在公園的平地上，如圖所示。為了穩固此裝置藝術，除了將\(O\)點落在地面上，還在\(A,B,C\)三處各架上一根垂直地面的鐵柱，分別為\(\overline{AA'}\)、\(\overline{BB'}\)、\(\overline{CC'}\)。若已知此正立方體的邊長為13公尺，且\(A\)到地面的垂直距離\(\overline{AA'}\)為3公尺，點\(B\)到地面的垂直距離\(\overline{BB'}\)為4公尺，試求該正立方體中，距離地面最遠的頂點其高度為　　　公尺。

一個正立方體的裝置藝術斜立在公園的平地上。為了穩固此裝置藝術，除了將\(O\)點落在地面上，還在\(A\)、\(B\)、\(C\)四處各架上一根垂直地面的鐵柱，分別為\(\overline{AA'}\)、\(\overline{BB'}\)與\(\overline{CC'}\)。已知此正立方體的邊長5公尺，且\(\overline{AA'}=3\)，\(\overline{BB'}=2\)，則\(\overline{CC'}=\)　　　公尺。
(110竹北高中，連結有解答https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3500&page=1#pid22462)

13.
如圖，\(\triangle ABC\)中，\(\overline{AB}=8\)、\(\overline{AC}=4\)、\(\overline{BC}=2\sqrt{11}\)。已知\(\overline{AD}\)是\(\angle BAC\)的平分線交\(\overline{BC}\)於\(D\)點。設\(E\)點在\(\overline{AB}\)上且滿足\(\overline{AE}=3\overline{BE}\)，又\(\overline{AD}\)和\(\overline{CE}\)交於\(G\)點，則\(\triangle ACG\)的外接圓面積為　　　。

14.
已知三正數\(x\)、\(y\)、\(z\)滿足\(x^2+4y^2+4z^2=12\)，則\(\sqrt{3xy}+5z\)的最大值為　　　。

作者: Gary 時間: 2026-3-7 21:10 標題: 115中一中填充題詳解

內有計算二題目，計算一忘記題目了

附件: 115中一中詳解.pdf (2026-3-7 21:10, 1.2 MB) / 該附件被下載次數 1137
https://math.pro/db/attachment.php?aid=7769&k=ff04c4f85ce1c595273076a8c85ed486&t=1783570569

作者: Gary 時間: 2026-3-8 09:21 標題: 計算一二的詳解

不確定對不對

圖片附件: IMG_4010.jpeg (2026-3-8 09:21, 705.32 KB) / 該附件被下載次數 669
https://math.pro/db/attachment.php?aid=7770&k=f9f8518212e8b874b18f2f99c3b620b8&t=1783570569

圖片附件: IMG_4009.jpeg (2026-3-8 09:21, 764.62 KB) / 該附件被下載次數 621
https://math.pro/db/attachment.php?aid=7771&k=454646559b2f01149bb4f89ea3af20f7&t=1783570569

作者: yymath 時間: 2026-3-11 17:11

整理完115台中一中詳解，給大家參考看看~
https://yinyumath.blogspot.com/2026/03/window_8.html#more

作者: ruee29 時間: 2026-5-12 09:35

也整理了解答
11,12,13( 斯圖爾特, 斯霍騰),14( 算幾,柯西)
淺見供參考~
附圖為斯圖爾特與斯霍騰定理的簡略推導

[ 本帖最後由 ruee29 於 2026-5-12 11:39 編輯 ]

附件: 115台中一中(1).pdf (2026-5-12 09:35, 1.56 MB) / 該附件被下載次數 238
https://math.pro/db/attachment.php?aid=7967&k=0c03529cab610615596cf70c840b3a0b&t=1783570569

附件: 115台中一中(2).pdf (2026-5-12 09:35, 537.13 KB) / 該附件被下載次數 226
https://math.pro/db/attachment.php?aid=7968&k=750f9a501deb6a142acfb07070d5cb0a&t=1783570569

圖片附件: 1778554790069.png (2026-5-12 11:01, 213.36 KB) / 該附件被下載次數 207
https://math.pro/db/attachment.php?aid=7975&k=fb6890269ad2c5fa3774490dbffa8ceb&t=1783570569

圖片附件: 1778554793330.png (2026-5-12 11:01, 232.11 KB) / 該附件被下載次數 197
https://math.pro/db/attachment.php?aid=7976&k=a8f9a427610e6f6dc10a4a540f2cbc6e&t=1783570569

歡迎光臨 Math Pro 數學補給站 (https://math.pro/db/)

論壇程式使用 Discuz! 6.1.0