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標題: 114高中數學能力競賽 [打印本頁]

作者: 3s4s5s 時間: 2025-11-7 03:46 標題: 114高中數學能力競賽

想請問有沒有老師或是學生有114高中數學能力競賽的題目？

115.5.15補充
嘉義高中歷年學科能力競賽全國決賽試題https://www.cysh.cy.edu.tw/p/406-1008-57252,r180.php
114高中數學能力競賽決賽總報告https://drive.google.com/drive/f ... Fvd6tJlnTz3L-n37928

作者: DavidGuo 時間: 2025-12-6 22:59

你要問哪一區的……縣市的有十幾區
還有全國的，今天剛考完。

作者: 3s4s5s 時間: 2025-12-18 00:50

都可以啊有的話就可以傳上來感謝

作者: ideriderider 時間: 2026-1-15 20:10 標題: 114高中數學學科能力競賽

想問一下有老師有114學年度數學學科能力競賽的全國決賽試題和各地區複賽試題嗎，想看一下，感謝！

作者: weiye 時間: 2026-1-15 20:30

相同主題合併。

作者: bugmens 時間: 2026-5-15 22:28

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1.
正四面體的頂點和各邊中點共有10個點，在這10個點中任取4個不共面的點，共有　　　種取法。

2.
在空間中，若\(ABCD\)為邊長2的正方形，\(P\)、\(Q\)分別為\(\overline{AB}\)、\(\overline{AD}\)的中點，\(\overline{RC}\)垂直正方形\(ABCD\)所在的平面，且\(\overline{RC}=1\)，則　點到平面\(PQR\)的距離為　　　。

3.
當一個正整數，從最左邊第二位開始，每個數字都比其左邊的數字大，且最左邊數字與最右邊數字的差為2的倍數，稱此數為「同升數」，例如36789是一個五位同升數，3659不是一個四位同升數。所有四位同升數共有　　　個。

4.
若數列\(a_n\)為公差\(d\neq0\)的等差數列，且\(a_{k_1},a_{k_2},\cdots,a_{k_m}\)為等比數列，其中\(k_1=1,k_2=4,k_3=13\)，則\(k_1+k_2+\cdots+k_m=\)　　　（以符號\(m\)表示）。

5.
若\(a>0\)，且不等式\(\displaystyle\left|1-\frac{ax+a^2}{\sqrt{x}}\right|\leq1\)在\(\displaystyle\frac{1}{4}\le x\le 1\)時恆成立，則\(a\)的取值範圍為　　　。

6.
求方程式\(\sqrt[3]{x-3}+\sqrt[3]{6x-16}+7x-19=0\)的解\(x=\)　　　。

7.
在\(\triangle ABC\)中，\(D\)、\(E\)、\(F\)分別在\(\overline{BC}\)、\(\overline{CA}\)、\(\overline{AB}\)上，且\(\overrightarrow{DC}=3\overrightarrow{BD}\)，\(\overrightarrow{EC}=4\overrightarrow{AE}\)，\(\overrightarrow{FB}=\overrightarrow{AF}\)。若\(G\)為\(\triangle DEF\)的重心，且\(\overrightarrow{AG}=\alpha\overrightarrow{AB}+\beta\overrightarrow{AC}\)，則數對\((\alpha,\beta)=\)　　　。

8.
若實數\(a\)滿足\(\displaystyle(7\cdot\sqrt[3]{20}-a)^{\frac{1}{6}}=\sqrt[3]{\frac{5}{3}}-\sqrt[3]{\frac{2}{3}}\)，則\(a=\)　　　。
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1.
在\(\triangle ABC\)中，設\(a,b,c\)分別為\(\angle A,\angle B,\angle C\)的對邊長，且\(\angle A>\angle B\)。若\(\tan A,\tan B\)為方程式\(x^2-5x+6=0\)的兩根，且\(c=\sqrt{10}\)，則\(\triangle ABC\)最長邊的長度為　　　。

2.
兩人輪流擲骰子，每次擲兩顆骰子，首先擲出點數和大於6的人獲勝，否則，就換另一個人擲。在此條件下，先擲的人獲勝機率為　　　。

3.
將\(\displaystyle\frac{1-\sqrt{3}\tan10^{\circ}}{\sqrt{1-\cos20^{\circ}}}\)化為最簡根式為　　　。

4.
有15個人圍成一圈。從這15人中選出5人，其中任兩人皆不相鄰的方法有　　　種。

5.
坐標空間中，\(A,B\)兩點在某直線\(L\)上的投影點分別為\(C,D\)。已知\(\overline{AC}=\overline{BD}=\sqrt{3}\)，且兩直線方程式分別為\(AC\)：\(\displaystyle\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{3}=z-1\)與\(BD\)：\(\displaystyle\frac{x+2}{2}=\frac{y}{-1}=\frac{z+1}{-1}\)，則\(\overline{AB}\)的長度為　　　。

6.
在\(x+3y=1\)的條件下，若\(\sqrt{x^2+y^2}+x\)的最小值為\(m_1\)，\(\sqrt{x^2+y^2}+y\)的最小值為\(m_2\)，則\(m_1+m_2\)之值為　　　。

7.
平面上，若四邊形\(ABCD\)滿足\(\overline{AB}+\overline{BD}+\overline{DC}=12\)，且有最大面積，則\(\overline{AC}\)的長度為　　　。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
1.
所有滿足\(2x^2+y^2=2x-2xy+115\)之正整數對\((x,y)\)為　　　。

2.
\((\sqrt{x}+1)^4(x-1)^5\)的展開式中，\(x^4\)的係數為　　　。

3.
已知\(a,b,c\)為質數，且滿足\(a^2+b^2+c^2+abc=445\)。則\(a^3+b^3+c^3=\)　　　。

4.
已知\(A,B,C,D\)是以\(O\)為球心的球面上的四點，而且空間中直線\(\overleftrightarrow{AB},\overleftrightarrow{AC},\overleftrightarrow{AD}\)兩兩互相垂直，且線段長\(\overline{AB}=8,\overline{AC}=9,\overline{AD}=12\)，則此球的半徑為　　　。

5.
令\(x\)和\(y\)為兩個實數。已知\(\begin{bmatrix}\sqrt{2}&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-1&1\\2&-1\end{bmatrix}^{19}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}\)若\(x^2+y^2\neq0\)，則\(\displaystyle\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}\)之值為　　　。

6.
數字卡片1,2,3,4,5，每張都各有紅、黃、綠三張，共15張。從其中抽出5張，每個數字都出現，且每個顏色也都出現的方法數有　　　種。

7.
設\(P(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+1\)，其中\(a,b,c\)均為實數。已知\(P(x)=0\)的所有根在複數平面的單位圓內或圓上，則\(2a^2-c^2-4b\)的最大值為　　　。
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1.
箱子裡有若干顆球，其中有15顆紅球，其餘為藍球。現從箱子中抽球，每顆球被抽中的機率皆相同。已知隨機自箱子中抽出兩顆球時，兩顆球同色的機率恰為\(\displaystyle\frac{1}{2}\)，則箱子裡一開始最多有　　　顆球。

2.
設\(n\)為正整數。若不存在正整數\(k\)滿足\(\displaystyle\frac{8}{13}<\frac{k}{n}<\frac{5}{8}\)，則\(n\)的最大可能值為　　　。

3.
設\(\langle a_n\rangle\)為實數數列，滿足\(a_0=0,a_1=1\)，且對任意非負整數\(n\)，都有\(a_{n+2}-2a_{n+1}+a_n=n+1\)則\(a_n=\)　　　（以\(n\)的函數表示之）。

4.
設\(m\)為實數。若方程式\(|x^2-4x|-2mx-1=0\)有四個相異實根，則\(m\)的範圍為　　　。

5.
設\(f\)是定義在區間\([-1,1]\)的函數，且對所有的\(\displaystyle x\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right]\)，都有\(\displaystyle f(\cos(2x))=\sin\frac{x}{2}-\cos\frac{x}{2}\)，則\(\displaystyle f\left(\frac{7}{8}\right)\)之值為　　　。

6.
設\(n\)為正整數。若\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\left[\frac{1+2k}{3}\right]>2025\)則\(n\)的最小可能值為　　　。
註：\([x]\)表示不超過實數\(x\)的最大整數。

7.
坐標空間中，已知圓\(C\)在平面\(4x-3z=0\)上，且\(C\)的圓心為\((0,1,0)\)，半徑為5。設在圓\(C\)上與平面\(2x+2y+z=32\)最接近的點為\(P\)，且\(P\)到坐標原點的距離為\(\sqrt{m+\sqrt{n}}\)，其中\(m,n\)均為整數，則數對\((m,n)=\)　　　。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
1.
求滿足\(xy^2(x+y^2)=2^{25}\)的所有正整數解。

2.
令\(x\)和\(n\)為正整數，若\(x^n+2^n+1\)整除\(x^{n+1}+2^{n+1}+1\)，求\((x,n)\)。

3.
設\(n\)為正整數，令\(S(n)\)表示將\(1,3,\dots,2n+1\)等連續\(n+1\)個奇數中任兩數的乘積相加的總和，例如\(S(1)=1\cdot3=3\)，\(S(2)=1\cdot3+1\cdot5+3\cdot5=23\)，求\(S(15)\)。

4.
已知\(\overline{AB}\)是平面上長度等於1的線段，點\(C\)是\(\overline{AB}\)線段上的一個動點且\(C\neq A,B\)，令\(D\)是平面上滿足\(\overline{DB}\perp\overline{AB}\)且\(\overline{DB}=\overline{AC}\)的點，連結\(\overline{AD}\)線段且令\(E\)是\(\overline{AD}\)線段上滿足\(\overline{CE}\perp\overline{AD}\)的點，求\(\overline{BE}\)的最小值。

5.
設函數\(\displaystyle f(x)=\frac{\sin9x}{\sin x}+\frac{\cos9x}{\cos x}\)，若\(x\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)\)且滿足\(\displaystyle f(x)=-\frac{5}{2}\)，求\(\cos2x\)。

6.
設\((x_0,y_0,z_0)\)同時在兩個平面\(x+2y+z=4\)及\(2x+y+3z=9\)上，求\(|x_0-1|+|y_0-2|+|z_0-3|\)的最小值。

7.
令\(d(n)\)為整除n的最大奇數，例如\(d(1)=d(2)=d(4)=1\)，\(d(6)=3\)，設\(\displaystyle S(n)=\sum_{i=1}^nd(i)\)，求\(S(2^{100})\)。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
1.
已知\(A(0,0),B(2,0),C(2,3),D(6,3)\)為坐標平面上四個點，\(P\)為一動點，\(a\)為\(\overline{PB}\)與\(\overline{PC}\)的最大值，\(b\)為\(\overline{PA}\)與\(\overline{PD}\)的最小值。若\(a<b\)，求所有\(P\)點所成的區域面積。

2.
設\(\displaystyle f(x)=\frac{2\sin^2x+4\sin2x+3}{\sin x+\cos x}\)，\(\displaystyle 0\le x\le\frac{\pi}{2}\)。已知當\(x=a\)時，\(f(x)\)有最小值\(b\)，求\(a+b\)的值。

3.
如圖，正方形\(ABCD\)的邊長為4，點\(E\)在\(\overline{AD}\)上，點\(F\)在線段\(\overline{CE}\)上，使得\(\overline{CF}=2\)以及\(\overline{FE}=3\)，作一圓與\(\overline{CE}\)及\(\overline{CB}\)相切且F是切點，連接\(\overline{BF}\)使得\(\overline{BF}\)與圓相交於另一點G，求\(\overline{FG}\)的長。

4.
四面體\(A-BCD\)中，已知\(\overline{AB}=\overline{AD}=3,\overline{BC}=\overline{CD}=4,\overline{BD}=5\)，滿足此條件的四面體中，當其外接球半徑為最小時，求此時的\(\overline{AC}\)長。

5.
設\(S=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}\)，已知\(A\)為\(S\)的子集合，且\(A\)不包含任意兩個相鄰的整數，求滿足此條件的\(A\)共有幾個。

6.
設\(m,c\)為實數，已知直線\(y=mx+c\)可將坐標平面分成兩個恰交於此線的半平面，且使得\(y=2x^2-5x+7\)與\(\displaystyle y=1-\frac{x^2}{4}\)的圖形分別落在此兩半平面中。若\(m\)的最小值為\(m_1\)，最大值為\(m_2\)，求\(m_1^2+m_2^2\)的值。

7.
設\(\mathbb{N}\)表所有正整數所成的集合，\(f\)：\(\mathbb{N}\to\mathbb{N}\)為一函數，滿足\(f(1)=3\)，且對所有正整數\(m,n\)，均有：\(f(m+n)=f(m)+f(n)+2mn\)若\(f(n)=2024\)，求\(n\)的值。

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