標題: 請問一題組合恆等式 [打印本頁]

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作者: 耳東陳    時間: 2025-10-30 10:48     標題: 請問一題組合恆等式

如附件，請問要如何證明？

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https://math.pro/db/attachment.php?aid=7699&k=48635561f5aee209d923122c919ae8c6&t=1769623586

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作者: tsusy    時間: 2025-11-1 09:05     標題: 回覆 1# 耳東陳 的帖子

這是巴貝奇定理，但少做一次差分的結果

https://math.pro/db/viewthread.php?tid=673

證明的話，可以走數學歸納法，
原多項式 \( n \) (正整數) 次、領導係數 \( a \)每做一次差分後，
得到新的多項式為 \( n-1 \) 次、領導係數為 \( n a \)。

此恆等式，即 \( x^n \) 做 \( n \) 差分的結果

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作者: Harris    時間: 2025-11-7 15:38     標題: 回覆 1# 耳東陳 的帖子

考慮 X={1,2,3,...,n}，Y= {1,2,3,...,n}，f:X→Y 共有n^n個不同的函數
其中是one-to-one且onto的函數共有n!種，利用排容原理，將全部扣掉至少有一個y當中的元素沒被映射的情形
n!=C(n,0)n^n-C(n,1)*(n-1)^n+C(n,2)*(n-2)^n+...+(-1)^n-1*C(n,n-1)*(1)^n
同乘以(-1)^n-1即可

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