標題:
114新竹高中二招
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作者:
bugmens
時間:
2025-7-15 12:16
標題:
114新竹高中二招
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作者:
bugmens
時間:
2025-7-15 12:16
一、填充題I
1.
已知多項式\(x^{26}\)除以\(x^2-x+2\)的餘式為\(181x+8098\)，求\(x^{23}\)除以\(x^2-x+2\)的餘式為
。
2.
設\(f(x,y)=2x^2-4xy+4y^2-4x-4y+5\)，其中\(x,y\)為實數，當\(x=m,y=n\)時，\(f(x,y)\)有最小值\(k\)，則數組\((m,n,k)=\)
。
類似問題
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=680&page=3#pid7957
二、填充題II
6.
有6個人有網路帳號，已知每個人都
恰好
與自己以外的2個人互為好友，則共有
種不同的組成方法。
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1385&page=2#pid6035
8.
\(\triangle ABC\)中，\(\overline{AB}=4\)，\(\overline{BC}=5\)，\(\overline{AC}=6\)，平面\(ABC\)外一點\(P\)到\(A\)，\(B\)，\(C\)三點的距離皆為8，求\(P\)點到平面\(ABC\)的距離為
。
9.
右圖為示意圖。平面上，四邊形\(ABCD\)中，\(\overline{AB}=2\)，\(\overline{BC}=\overline{CD}=\overline{AD}=1\)，\(\triangle ABC\)的面積為\(S\)，\(\triangle ACD\)的面積為\(T\)，則\(S^2+T^2\)的最大值為
。
平面上有一線段\(\overline{AB}=\sqrt{3}\)，動點\(M,N\)滿足\(\overline{AM}=\overline{MN}=\overline{NB}=1\)。將\(\triangle AMB\)與\(\triangle MNB\)的面積記為\(S\)與\(T\)，試求\(S^2+T^2\)最大值？
(101中正高中二招，連結有解答
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1446&page=6#pid10008
)
10.
有一雙曲線\(\Gamma\)的貫軸長是共軛軸長的兩倍，令\(F_1\)、\(F_2\)分別為\(\Gamma\)的兩焦點，\(A\)、\(B\)均為\(\Gamma\)上的兩定點，且\(\overline{AB}\)通過\(F_2\)且\(\overline{AF_2}=3\overline{BF_2}\)，\(\triangle F_1AB\)的面積為96，求\(\Gamma\)的貫軸長為
。
12.
在複數系裡，1的8個8次方根在複數平面上，恰為內接於單位圓的正八邊形\(A_1A_2A_3A_4A_5A_6A_7A_8\)的8個頂點，設\(P\)為此單位圓上一點，試求\(\overline{PA_1}
\times \overline{PA_2}\times \overline{PA_3}\times \overline{PA_4}\times \overline{PA_5}\times \overline{PA_6}\times \overline{PA_7}\times \overline{PA_8}\)的最大值為
。
三、計算證明題
1.
小毅每天選擇午餐的來源有3種即福利社、自帶午餐與外訂午餐，已知小毅的習慣是
不選擇
與前天一樣的來源，假設\(n\)天(\(n\ge 2\))內小毅選擇午餐來源的所有方法中，第\(n\)天與第一天相同的方法數為\(a_n\)；第\(n\)天與第一天不同的方法數為\(b_n\)，可知\(a_2=3\times 0=0\)，\(b_2=3\times 2=6\)，若\(T\)為二階方陣且\(\left[\matrix{a_n\cr b_n}\right]=T\left[\matrix{a_{n-1}\cr b_{n-1}}\right]\)，其中\(n\)為正整數且\(n\ge 3\)。試求
(1)二階方陣\(T\)。
(2)當\(n\ge 2\)時，\(a_n\)的「一般項公式」。
作者:
acolytej
時間:
2025-7-27 14:07
想問計算証明第三題， 謝謝
作者:
weiye
時間:
2025-7-27 15:28
標題:
回覆 3# acolytej 的帖子
計算證明第 3 題：
令 \(g(x) = f(x) - f(-x)\)，
因為 \(f(x)\) 為 \(2n\) （偶數）次多項式，所以 \(f(x)\) 與 \(f(-x)\) 的最高次項係數相同，
得 \(\deg g(x) < 2n\) 或 \(g(x)\) 為零多項式。
又因為 \(g(x)\) 至少有 \(2n\) 個相異實根 \(x_1, -x_1, x_2, -x_2, ..., x_n, -x_n\)，
得 \(g(x)\) 為零多項式，
故 \(f(x) = f(-x)\) 恆成立。
作者:
zj0209
時間:
2025-7-30 11:50
想請教一下計算2的第一小題，謝謝
作者:
thepiano
時間:
2025-7-30 15:25
標題:
回覆 5# zj0209 的帖子
計算第 2 - (1) 題
取到第 k 次就停止，表示取的第 k 球是第 2 個紅球
此球的前 (k - 1) 個球中，有 1 個紅球，後 (n + 3 - k) 個球中，也有 1 個紅球
機率 = (k -1)(n + 3 - k) / C(n + 3，3)
作者:
zj0209
時間:
2025-7-30 16:50
我看懂了，謝謝thepiano老師！
作者:
Superconan
時間:
2025-8-30 12:06
請問計算證明題第 1 題
題目敘述說「小毅的習慣是不選擇與前天一樣的來源」，
想問一下「前天」是不是打錯了，應該要打「前一天」才算得出來？
作者:
mojary
時間:
2025-11-26 20:17
標題:
請教第１１題
謝謝。
作者:
tsusy
時間:
2025-12-1 13:46
標題:
回覆 9# mojary 的帖子
填充11.
注意到 \( (217,175) + (188,410) = (405,585) = 3 (135,195) \)
故 \( P(135 , 195) \) 經過矩陣 \( A \) 變換為 \( \frac13 (83+112,125-110) = (65,5) = 5(13,1) \)
故所求 = \( 5 \cdot \left[\begin{array}{cc} \frac{ - 3}{5} & \frac{4}{5} \\ \frac{4}{5} & \frac{3}{5} \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc} 13 \\ 1 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} - 35 \\ 55 \end{array}\right] \)，所求即 \( (-35,55) \)
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