標題: 114年分科測驗數甲試題+完整詳解（俞克斌老師提供） [打印本頁]

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作者: 俞克斌    時間: 2025-7-11 17:49     標題: 114年分科測驗數甲試題+完整詳解（俞克斌老師提供）

匆忙之間
獨力完成
敬請指正

115.3.24補充
設複數\(z\)的虛部不為0且\(|\;z|\;=2\)。已知在複數平面上，1、\(z\)、\(z^3\)共線。試選出正確的選項。
(1)\(z\cdot \overline{z}=2\)　(2)\(\displaystyle \frac{z^3-z}{z-1}\)的虛部為0　(3)\(z\)的實部為\(\displaystyle -\frac{1}{2}\)　(4)\(z\)滿足\(z^2-z+4=0\)　(5)在複數平面上，\(-2\)、\(z\)、\(z^2\)共線

設虛數\(z\)滿足\(|\;z|\;=3\)，且在複數平面上1、\(z\)、\(z^3\)共線，試求\(z=\)？
(115松山高中，https://math.pro/db/thread-4074-1-1.html)

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作者: DavidGuo    時間: 2025-7-12 04:53     標題: 第6題

這題俞老師的寫太快，直接說兩交點。
(3) 解 \(y=1.2^x\) 與 \(y=x\) 的交點，相當於解 \(1.2^x-x=0\)的根，使用勘根定理，\(x=1\)與\(x=2\)代入，一正一負，所以有根，於是\(y=1.2^x\) 與 \(y=x\) 有交點。
(5) \(y=1.2^x\)與\(y=\log_{1.2}x\)互為反函數，所以其交點在\(x=y\)上，而(3)已知\(y=1.2^x\) 與 \(y=x\)有交點，則\(y=1.2^x\)與\(y=\log_{1.2}x\)也有交點(同樣的點)。
換句話說，「存在\(b\)使得\(1.2^b=\log_{1.2}b\)」，否逆命題即得。

[ 本帖最後由 DavidGuo 於 2025-7-12 05:11 編輯 ]

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作者: DavidGuo    時間: 2025-7-12 05:31     標題: 第8題

(4)的解法有誤。題目是問\(z\)滿足\(z^2-z+4=0\)，結果此解答寫說\(z\)滿足\(z^2+z+4=0\)，沒有回答到原選項對或錯。
這裡提供另一種思路。
(2) 因為\(1,z,z^3\)共線，所以\(z^3-z\)為\(z-1\)的倍數(實數倍)，所以虛部為\(0\)。
這裡假設\(\frac{z^3-z}{z-1}=z^2+z=c\in\mathbb{R}\)。
(3)由\(z^2+z-c=0\)解得\(z=\frac{-1+i\sqrt{\cdots}}2\)，所以實部\(-\frac12\)沒錯。
(4)由\(z^2+z=c\)與題目的\(z^2-z=-4\)兩式相減，得\(2z=c+4\in\mathbb{R}\)，\(z\in\mathbb{R}\)與題幹的「\(z\)的虛部不為\(0\)」矛盾。
(5)由\(z^2+z=z^2-(-z)=c\)看出\(c=-z^2=-4\)(利用複數平面上的等腰三角形，全題只有這裡要用到\(|z|=2\))，
所以\(z^2+z+4=0\)，推得\(z^2+2=-(z+2)\)，即\(\frac{z^2-(-2)}{z-(-2)}=-1\in\mathbb{R}\)，所以\(-2,z,z^2\)共線。

[ 本帖最後由 DavidGuo 於 2025-7-12 05:56 編輯 ]

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作者: tsusy    時間: 2025-7-12 08:29     標題: 回覆 1# 俞克斌 的帖子

選填11. 也是跳太快
除了 \( P, R \) 兩頂點外，另外兩頂點應假設 \( (a,5a), (3b,-2b) \)
再用平行的邊形邊長、對角線的向量加法關係，解出 \( a,b \) 而得兩頂點坐標

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作者: 洪聖淵    時間: 2025-7-13 18:35

感謝老師的詳解～幫助很大！

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作者: tsusy    時間: 2025-7-13 18:54     標題: 回覆 1# 俞克斌 的帖子

多選 7(3) 寫錯了 \( f'(3) \) 有可能為 0
例：\( f'(x)=(x-1)(x-\frac{3}{2})(x-2)(x-3)^{3}(x-4)(x-5)(x-6) \)

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作者: DavidGuo    時間: 2025-7-14 05:45     標題: 回覆 6# tsusy 的帖子

題目是double prime。

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作者: tsusy    時間: 2025-7-14 21:54     標題: 回覆 7# DavidGuo 的帖子

手誤...反例是對，第一行應改成 \( f''(3) \) 可能為 0

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